Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un
u(e1+ei)=u(e1)+u(ei)=λ1e1+λiei. λ1=α=λi. Ainsi, si un endomorphisme à une représentation matricielle diagonale dans toutes les bases de E, sa matrice est de la forme λIn et donc cet endomorphisme est de la forme λIdE.
Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel , l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace . l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.
Si on connaıt une base B de E et une base C de F (ou si on peut déterminer facilement ces bases), l'applica- tion f est bijective si, et seulement si, sa matrice MatB,C (f) est inversible. Si dimE = dimF, il suffit de vérifier que Kerf = {0E} ou que f est surjective (Théor`eme du rang).
Solution : f1(e1)=2e1 - e2,f(e2)=3e1 + e2 et donc MC(f1) = ( 2 3 -1 1 ) . 2. f2 : R2 → R3 définie par f(x, y)=(y,-x + y,2x - y).
c) Représentation graphique On considère un repère du plan. * Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite qui passe par l'origine du repère, alors cette fonction est linéaire.
Formulaire : Si X est le vecteur colonne représentant x∈E x ∈ E dans la base B , si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B′ , et si A est la matrice de u dans les bases B et B′ , alors Y=AX.
Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Par définition si une matrice a lignes et colonnes, elle est dite de dimension m × n (dans cet ordre). La matrice a lignes et colonnes, donc elle est de dimension 2 × 3 . On dit aussi que c'est une matrice 2 × 3 .
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée.
Comme 𝑓 ( − 1 ) = 𝑓 ( 1 ) , 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 n'est pas injective. On rappelle qu'une fonction 𝑓 est injective si les conditions 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) et 𝑥 et 𝑥 appartiennent à l'ensemble de définition de 𝑓 impliquent que 𝑥 = 𝑥 .
On dit que T est injective si T(u)≠T(v) T ( u ) ≠ T ( v ) lorsque u≠v. u ≠ v . Ceci implique que l'image de deux éléments distincts de V par T contient deux vecteurs distincts de W . Si T est injective, on dit que c'est une injection.
On dit qu'une application linéaire f:E→F f : E → F est un isomorphisme si elle est bijective. La fonction réciproque d'un isomorphisme est elle-même une application linéaire.
Pour montrer que φ définit un automorphisme, on vérifie que φ est linéaire, injective et que son image est égale à son espace de définition. Pour montrer que φ définit un forme linéaire, on vérifie que φ est linéaire et que ses valeurs sont dans le corps sous-jacent.
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est surjective, on démontre que, pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) admet toujours au moins une solution x dans E .
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.
Un endomorphisme u de E est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de u . Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
caractérisation d'une matrice inversible
Soit une matrice de M n ( K ) . Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
La diagonalisation de matrices sert surtout en physique (via le théorème spectral) pour déterminer certaines caractèristiques invariantes de systèmes. (Comme en mathématique on détermine les vecteurs invariants à un facteur près sous une une application linéaire, appelés vecteurs propres).
Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau rectangulaire de m × n nombres, rangés ligne par ligne. Il y a m lignes, et dans chaque ligne n éléments. Plus formellement et plus généralement, soient I, J et K trois ensembles (K sera souvent muni d'une structure d'anneau ou même de corps commutatif).
On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les termes situés hors de la diagonale principale sont tous nuls. Plus formellement, une matrice carrée d'ordre de terme général a i , j est diagonale si pour tout entier , avec 1 ≤ i ≤ n , et tout entier tel que , i ≠ j , a i , j = 0 .
Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible. Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'. Ici, il s'agit de montrer que P=(231342112) est inversible.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.