Une suite arithmétique est une suite numérique dont la différence entre termes consécutifs est constante. Pour obtenir le prochain terme dans la suite, nous ajoutons toujours le même nombre au terme précédent.
Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.
Une suite géométrique U de raison q et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 qn. On utilise les suites géométriques pour les placements à intérêts composés. Une suite arithmétique U de raison r et de premier terme U0 a pour terme général Un = U0 + nr.
Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0.
Un = Up + (n-p)×r (où Up est le terme initial). Cas particulier si U0 est le terme initial, alors Un=U0+nr. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.
Une suite arithmétique est une suite qui pour chaque terme ajoute le même nombre réel au terme précédent. Une suite géométrique est une suite qui pour chaque terme multiplie le même nombre au terme précédent.
Exemple : Considérons une suite numérique (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. Si le premier terme est égal à 5, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.
Pour démontrer qu'elle n'est pas arithmétique, il te suffit donc de trouver un contre-exemple te permettant d'affirmer que U{n+1}−Un n'est pas constant. Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut que U_{n+1}/Un soit constant ...
la suite (un) telle que un = n pour tout n; • la suite (un) telle que un = 2n pour tout n. lLa suite (un) telle que un = αn pour tout n, o`u α est un réel donné. Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n.
Suites numériques - Points clés
Une suite est croissante si u n + 1 ≥ u n et elle est décroissante si u n + 1 ≤ u n . Une suite est périodique si ses termes se répètent. La suite de Fibonacci est la suite d'entiers naturels où chaque terme est la somme des deux termes précédents.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme a est donnée par la formule : a(1-qⁿ)/(1-q). Dans cette vidéo, on donne une justification assez simple de cette formule.
L'expression « arithmétique » est probablement due au fait que les entiers naturels 1, 2, 3, 4, (arithmos en grec) forment la plus simple des suites arithmétiques. L'expression « harmonique » est à rattacher à la suite des inverses des naturels qui est la plus simple des suites harmoniques.
Pour calculer u1, on fait n = 0 dans (*) : u1 = 2u0 − 1 = 2 χ 3 − 1 = 5. Pour calculer u2, on fait n = 1 dans (*) : u2 = 2u1 − 1 = 2 χ 5 − 1 = 9. De même : u3 = 2u2 − 1 = 17. On remarque que, pour calculer un terme de la suite, on doit calculer tous les termes d'indice inférieur.
1. Quantité qui conserve toujours la même valeur ; nombre indépendant des variables, dans une équation. 2. Tendance, orientation générale permanente : Les constantes d'une politique.
En sciences, une constante est une grandeur dont la valeur est fixée par convention ou par calcul, indépendamment du problème dans lequel elle est rencontrée. Cette notion s'oppose ainsi à celle de variable, dont la valeur peut changer au cours d'un même problème.
Calculer un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
Les suites géométriques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée. Elles peuvent aussi servir à calculer des solutions particulières pour les relations de récurrence linéaires. Premières étapes de la construction du triangle de Sierpiński.
Trouver la raison d'une suite géométrique
On a donc un = aqn−1. Pour trouver la raison d'une suite géométrique, si l'on connaît le premier et le dernier de n termes consécutifs, il faut extraire la racine (n−1)ième du quotient du dernier terme par le premier.
Généralités. Une suite (un) est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n, un+1=un+r. Le nombre réel r est appelé la raison de la suite (un). Logique « Il existe r tel que pour tout n » signifie qu'on utilise le même nombre r pour toutes les valeurs de n.
Le but de l'arithmétique est de nous permettre de résoudre des problèmes mathématiques en manipulant des nombres. L'arithmétique est un outil fondamental des mathématiques, et ses concepts sont utilisés dans de nombreux domaines différents, comme les sciences, l'ingénierie et la finance.
Somme des termes d'une suite géométrique (notation sigma) -Exemple. On calcule la somme Σ2(3ᵏ) pour k=0 à 99 en reconnaissant que l'on a à faire à suite géométrique et en utilisant la formule a(1-qⁿ)/(1-q).
Si la raison est supérieure à 1, chaque terme sera plus grand que le précédent et la suite est croissante. Si la raison est de 1, chaque terme est égal au précédent : la suite est constante.
La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand n → + ∞ ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.
Les suites arithmétiques et géométriques. On étudie deux types de suites particulières : les suites arithmétiques (on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre) et les suites géométriques (on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre).