On dit que la suite u est
Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée. Par exemple, la suite u n = 1 n u_n= \dfrac {1}{n} un=n1 est bornée car, pour tout entier naturel non nul n, 0 < 1 n ≤ 1 0 < \dfrac {1}{n} \leq1 0<n1≤1.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Propriété : Toute suite convergente est bornée. Donc si une suite n'est pas bornée, elle n'est pas convergente ! Mais, attention ! Il existe des suites bornées qui ne sont pas convergentes, par exemple la suite de terme général .
une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme. d'ou Un bornée.
2/ Théorèmes de convergence
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge. La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie. * Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge. La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Définition. Une partie B d'un espace vectoriel topologique E est dite bornée si pour tout voisinage V du vecteur nul, il existe un scalaire α tel que B soit incluse dans l'ensemble, noté αV, des vecteurs de la forme αx avec x dans V.
Si une partie admet un plus grand élément, c'est sa borne supérieure. Si a et b sont deux réels tels que a<b alors sup([a, b[) = b.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Une fonction est majorée par son maximum et est minorée par son minimum . Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un intervalle sans admettre forcément de maximum( ou de minimum ) . Ex : La fonction inverse est minorée par 0 sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ , mais 0 n'est pas un minimum …
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.
La convergence est l'action de converger, donc de se rapprocher, de se diriger vers un seul et même point. La divergence est le fait de diverger, c'est-à-dire de s'éloigner, de s'écarter de plus en plus.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Proposition : Si la série ∑nun ∑ n u n converge, alors (∥un∥) tend vers 0. Dans le cas où (∥un∥) ne tend pas vers 0, la série est dite grossièrement divergente. Lien suite série : Si on pose, pour n≥0 n ≥ 0 , vn=un+1−un v n = u n + 1 − u n , alors n∑k=0vk=un+1−u0.
Proposition 1.5. Soit (un) une suite de nombres ≥ 0. La suite converge géométriquement si et seulement si on a lim n √ un < 1. décroissante, donc convergente, et qu'on a lim n √ un = limsn par définition.
En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c'est-à-dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques.
Démonstration. Soit (un)n∈N une suite de Cauchy et soit N ∈ N tel que |un − uN | < 1 pour tout n ≥ N. Ainsi, pour tout n ≥ N on a |un| < 1 + |uN |. On en déduit que la suite (un)n∈N est bornée par max{|u0|,|u1|,...,|uN−1|,|uN | + 1}.
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
On sait qu'une suite croissante et majorée a une limite finie. Or, là, (Vn) est manifestement croissante. Si sa limite n'est pas finie (donc infinie), elle ne peut donc pas être majorée. Par conséquent elle n'est pas majorée.
En mathématiques, un zéro ou point d'annulation d'une fonction est une valeur en laquelle cette fonction s'annule. Autrement dit, il s'agit d'un antécédent de la valeur zéro. La fonction représentée ci-dessus admet deux zéros, l'un entre −3 et −2, l'autre entre −1 et 0.