Une variable aléatoire est caractérisée par l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre et par l'expression mathématique de la probabilité de ces valeurs. Cette expression s'appelle la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire.
Lorsque la variable X ne prend que des valeurs discrètes, on parle de variable aléatoire discrète. Un vecteur aléatoire X : Ω → Rd est une fonction X = (X1,...,Xd) à valeurs dans Rd telle que les coordonnées Xi soient des variables aléatoires.
Définition. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ où λ > 0 \lambda > 0 λ>0 si elle admet pour densité la fonction f définie sur [0;+∞[ par f ( x ) = λ e − λ x f(x) = \lambda e^{-\lambda x} f(x)=λe−λx.
Une variable aléatoire réelle est une application X : Ω → R telle que : ∀x ∈ R, [X ≤ x] = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A . Soit X une variable aléatoire réelle. Pour tout intervalle I de R : [X ∈ I] = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ I} ∈ A .
Ainsi, on a : Vx ∈ ]0,1[, P(F(X) ≤ x) = P(X ≤ F-1(x)) Comme F est la fonction de répartition de X, on en déduit : Vx ∈ ]0,1[, P(F(X) ≤ x) = F(F-1(x)) = x ce qui nous permet de conclure que F(X) suit la loi uniforme sur ]0,1[.
On peut définir ainsi une variable aléatoire ! sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et qui peut prendre les valeurs 2 ou –1. Pour les issues 5 et 6, on a : ! = 2 Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : !
Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( 𝑋 ) = 𝐸 ( 𝑋 − 𝜇 ) , où 𝜇 = 𝐸 ( 𝑋 ) = ( 𝑥 × 𝑃 ( 𝑋 = 𝑥 ) ) est l'espérance de 𝑋 et 𝑥 représente toutes les valeurs que 𝑋 peut prendre.
Formellement, une variable aléatoire réelle est une application X d'un univers Ω muni d'une probabilité p vers R. Cette application crée un nouvel univers X(Ω) de réels sur lequel on peut construire une probabilité issue de p. Cette probabilité s'appelle loi de probabilité de X.
On dit qu'une variable aléatoire X:(Ω,P)→R X : ( Ω , P ) → R suit une loi binomiale de paramètres n≥1 n ≥ 1 et p∈[0,1], p ∈ [ 0 , 1 ] , ce que l'on note X↪B(n,p) X ↪ B ( n , p ) si : X prend ses valeurs dans {0,…,n} .
En théorie des probabilités et en statistique, les moments d'une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance.
Comment identifier les variables indépendantes et dépendantes ? Le moyen le plus simple d'identifier dans votre expérience quelles variables sont la variable indépendante (VI) et la variable dépendante (VD) est de mettre les deux variables dans la phrase ci-dessous d'une manière qui a du sens.
Si (X1,…,Xn) ( X 1 , … , X n ) est une famille de n variables aléatoires définies sur le même espace (Ω,A,P) ( Ω , A , P ) , alors on dit que les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si, pour tous intervalles A1,…,An A 1 , … , A n de R , on a P((X1∈A1)∩⋯∩(Xn∈An))=P(X1∈A1)×⋯×P(Xn∈An).
Définition 1.4 Deux variables aléatoires discr`etes X et Y sont dites indépendantes si pour tout x ∈ X(Ω) et tout y ∈ Y (Ω), les événements {X = x} et {Y = y} sont indépendants, c'est-`a-dire : P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y).
pour tester le type d'une variable, on peut faire : type(var) == list (ou str ou int ou float) mais pour tester le type d'une variable, le mieux est isinstance(var, list).
Les valeurs prises par une variable aléatoire X sont des réels que l'on peut noter si la variable aléatoire prend n valeurs. Ainsi, définir la loi de probabilité de X, c'est donner les valeurs de . Pour vérifier que l'on a ainsi défini une loi de probabilité, on s'assure que l'on a bien : .
On peut ainsi définir l'événement "le résultat est 7" par X = 7 ou "le résultat est de moins de 4" par X < 4, etc. le support et on le note SX. , on dit que la variable aléatoire est discrète. Lorsque les résultats possibles d'une v.a. est un intervalle de l'ensemble des nombres réels, on dit que la v.a. est continue.
Formellement, une variable aléatoire est une application (i.e. une fonction) définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire. Elle associe pour chaque éventualité une valeur.
Pour calculer la probabilité qu'un événement se produise, on doit connaître le nombre d'issues où l'événement se produit et le nombre d'issues total. On calcule ensuite la probabilité en divisant le nombre d'issues où l'événement se produit par le nombre total d'issues.
Dans le cas d'une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l'évènement {X=a} est nulle, car il est impossible d'observer exactement cette valeur.
Nombre aléatoire,
nombre dont chaque chiffre est obtenu par tirage au sort à égalité de chances.
Soit (Ω,T,P) ( Ω , T , P ) un espace de probabilité et X:Ω→R X : Ω → R une variable aléatoire admettant une densité f . On dit que X est d'espérance finie ou que X admet une espérance si l'intégrale ∫+∞−∞tf(t)dt ∫ − ∞ + ∞ t f ( t ) d t converge absolument.
Une variable discrète est toujours numérique. Par exemple, le nombre de plaintes de clients ou le nombre de défauts. Les variables continues sont des variables numériques ayant un nombre infini de valeurs entre deux valeurs. Une variable continue peut être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure.
Une variable quantitative est dite discrète si elle ne peut prendre que des valeurs bien précises (des entiers, par exemple, comme celles qui résultent d'un dénombrement).
Contrairement à une variable continue, une variable discrète ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs réelles possibles à l'intérieur d'un intervalle donné.
Pour une variable aléatoire 𝑋 , l'écart-type est noté 𝜎 ou 𝜎 . Son carré, appelé la variance V a r ( 𝑋 ) , est défini par 𝜎 = ( 𝑋 ) = 𝐸 ( 𝑋 − 𝐸 ( 𝑋 ) ) , V a r où 𝐸 ( 𝑋 ) désigne l'espérance de la variable aléatoire 𝑋 . L'écart-type 𝜎 s'obtient en prenant la racine carrée positive de la variance.