➡️ Par exemple, pour un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c, les racines peuvent être trouvées en résolvant l'équation quadratique ax² + bx + c = 0 à l'aide de la formule quadratique. Autrement dit, un réel a est un racine de P si P(a) = 0. On dit aussi que a est solution de l'équation P(x) = 0.
Si f est une fonction définie sur un ensemble D , à valeurs dans R ou C , on dit que x est une racine de f , ou un zéro de f , si f(x)=0 f ( x ) = 0 . Le mot racine est particulièrement employé pour les polynômes.
- Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles notées x1 et x2. On a alors : x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0.
Pour construire le graphique d'une fonct (0 ;p) et (-p/m ;0). e le graphique d'une fonction du premier degré est une droite, pou déterminer deux de ses points. 'obtient en résolvant l'équation y = mx+p. Il s'agit de – de la fonction y=mx+p ou la racine de l'équation mx+p=0.
1.4 Les équations
Pour résoudre une équation contenant des racines carrées, on peut appliquer les principes suivants : Isoler un des termes comportant une racine carrée. Élever au carré les deux membres de chaque côté de l'égalité. Résoudre l'équation.
Une racine complexe d'un polynôme P est un nombre complexe z tel que P(z) = 0. Par exemple, nous savons maintenant que le nombre complexe i est une racine complexe du polynôme X2 + 1 puisque i2 = −1. Le polynôme X2 + 1 est donc factorisable dans C : X2 +1=(X − i)(X + i).
On en tire les valeurs suivantes de √2 : √2 = 1/5 × [7 ; 14, 14, 14…], √2 = 1/29 × [41 ; 82, 82, 82…].
Le domaine de définition et l'ensemble image de la fonction racine carrée 𝑓 ( 𝑥 ) = √ 𝑥 sont [ 0 ; + ∞ [ . Plus généralement, le domaine de définition d'une fonction composée avec la fonction racine carrée d'expression √ 𝑔 ( 𝑥 ) peut être identifié en déterminant les valeurs de 𝑥 satisfaisant 𝑔 ( 𝑥 ) ⩾ 0 .
C'est la forme développée de 2(x – 3)(x + 2)(x – 1). On dit qu'un réel r est une racine d'une fonction polynôme du troisième degré f d'expression f(x) = ax3 + bx2 + cx + d lorsque f(r) = 0, c'est-à-dire lorsque ar3 + br2 + cr + d = 0.
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(x) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de x2 – x sont 0 et 1.
Il n'est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant Δ. On peut aussi chercher une racine évidente de l'équation du second degré en factorisant le polynôme. Résoudre x2 – 1 = 0 revient à résoudre x2 = 1 soit x = –1 ou x = 1. Résoudre x2 – 2x = 0 revient à résoudre x(x – 2) = 0 soit x = 0 ou x = 2.
Pour une équation du second degré sous la forme ax2 + bx + c, le discriminant est la valeur b2 - 4ac. En calculant le discriminant, détermine le nombre de solutions réelles de l'équation 3x2 + 9. En calculant le discriminant, détermine le nombre de solutions réelles de l'équation 4x2 + 4x + 1.
Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Par conséquent, pour trouver les zéros de cette fonction, nous devons résoudre l'équation 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 . Voici l'équation 1 3 ( 𝑥 − 4 ) = 0 . La multiplication par 3 donne 3 × 1 3 ( 𝑥 − 4 ) = 3 × 0 𝑥 − 4 = 0 . On ajoute ensuite 4 aux deux membres de l'équation 𝑥 − 4 + 4 = 0 + 4 𝑥 = 4 .
On appelle fonction carré la fonction f qui à tout nombre x associe son carré x². Pour tout réel x, on note f (x) = x². Exemples : L'image de 4 par la fonction carré est 16.
Toute racine de 1 est 1 .
On appelle racine d'un polynôme réel ou complexe une racine d'un polynôme P(X) à une seule variable dont les coefficients sont réels ou complexes, c'est-à-dire un nombre α, réel ou complexe, vérifiant P(α) = 0.
Comment trouver la racine évidente ? Lorsque l'énoncé demande de chercher une racine évidente, il s'agit d'utiliser sa calculatrice pour calculer le polynôme en certaines valeurs ($-3\ ; -2\ ; -1\ ; 0\ ; 1\ ; 2\ ; 3$). On trouve à l'aide de la calculatrice que $-2$ est une racine, c'est-à-dire $P(-2) = 0$.
Formule. k × A + k × B = k × (A + B). Pour réussir à factoriser, il faut donc identifier le facteur commun k, puis A et B. Ensuite, il faut remplacer les valeurs trouvées dans la formule.
Application à la résolution d'équations
En effet, si un polynôme P de degré n a une racine α, il peut se factoriser sous la forme P(X) = (X – α)Q(X), où Q est de degré n – 1. La résolution de l'équation (de degré n) P(x) = 0 se ramène alors à celle de l'équation (de degré n – 1) Q(x) = 0.
Pour simplifier une racine carrée, on recherche des facteurs carrés parmi les diviseurs du nombre sous la racine. Par exemple, la racine carrée de 48 peut être simplifiée en séparant les facteurs carrés : √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3.
Le résultat indiqué pour racine de 15 est 3,8729833.
La première chose à faire est de diviser l'équation par a (non nul) : on obtient une nouvelle équation x4 + b'x3 + c'x2 + d'x + e' = 0. Posons alors y = x + b'/4. En remplaçant x par y - b'/4 dans l'équation, il se trouve que les termes en y3 vont disparaître : on trouve une équation de la forme y4 + py2 + qy + r = 0.