Une application f : E → F admet une application réciproque si et seulement si elle est bijective. Si f : E → F est bijective, alors f−1 : F → E est bijective. En effet, l'application réciproque associée `a f−1 est f : (f−1)−1 = f.
1 t dt. L'application réciproque de ln est la fonction exponentielle c'est-à-dire ∀x ∈ R, ∀y ∈]0, +∞[, exp(x) = y ⇐⇒ x = ln y.
Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de f, il suffit de poser x=f(y) et d'isoler la variable y. Déterminons si la fonction f(x)=(x−1)3+2 est injective.
On prend par exemple, la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 . La fonction 𝑓 prend des valeurs de 𝑥 et les multiplie par 2. La réciproque de 𝑓 est la fonction qui « défait » ce processus ; par conséquent, 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 2 .
(Image réciproque ) Soit B ⊂ F et f : E −→ F, l'image réciproque de A par f est l'ensemble : f−1(B) = {x ∈ E/f(x) ∈ B} ⊂ E. Soit A = {0,1,2}, alors f(A) = {f(x)/x ∈ A} = {f(0),f(1),f(2)} = {1,3,5}.
On va déterminer la réciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f définit une bijection de ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ dans ]−∞;1[ ] − ∞ ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection réciproque est donnée par f−1(y)=y f − 1 ( y ) = y .
Une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d'intersection avec une parallèle à l'axe des abscisses.
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Si f est continue, dérivable et strictement monotone sur I, alors f : I → f(I) est une bijection et sa réciproque est dérivable. Exercice 3 Soit f et g deux fonctions définies sur un in- tervalle I ⊂ R.
Définition de la réciproque
Quand on a une propriété qui s'écrit "Si A alors B", la réciproque serait "Si B alors A". "Si ce mammifère est l'Homme alors ce mammifère peut parler."
bilatéral, mutuel, partagé. Contraire : unilatéral, univoque.
Dans ce cas, ima(f)=[k,+∞[=dom(f−1). ima ( f ) = [ k , + ∞ [ = dom ( f − 1 ) . Si la fonction valeur absolue est ouverte vers le bas (lorsque a est négatif), l'ouverture de sa réciproque est vers la droite. Dans ce cas, ima(f)=]−∞,k]=dom(f−1).
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y. y .
Le taux d'évolution réciproque d'une valeur vers une valeur est tel que . est exprimé en pourcentage. Il est positif s'il représente une augmentation, négatif s'il représente une diminution. Soit le taux d'évolution d'une valeur vers une valeur .
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a. (3) f est dérivable en b si et seulement si f est dérivable `a gauche en b.
Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dans R. Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J alors g ◦ f est dérivable sur I et l'on a la formule de dérivation d'une fonction composée : (g ◦ f ) = f × (g ◦ f ).
Si les points O, A, F, d'autre part, et O, B, G, d'autre part, sont alignés et dans le même ordre OA/OF = OB/OG. Alors les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
La propriété « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu » est vraie. Sa réciproque « Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme » est aussi vraie.
Pour cela, il va falloir calculer AE/AD dans un premier temps et calculer ensuite BE/CD. Ainsi AE/AD = BE/CD donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites sont parallèles. Si les résultats obtenus après calcul sont différents, cela signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a.
La réciproque du théorème Pythagore dit que « si un triangle est rectangle, alors le carré de la plus grande longueur (l'hypoténuse) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». La réciproque de Pythagore permet donc de montrer si un triangle est rectangle.
Soit f:I→R f : I → R et x0∈I x 0 ∈ I . On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si le taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 admet une limite finie lorsque x tend vers x0 et on appelle nombre dérivé de f en x0 la limite ainsi obtenue.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.