* 84 = 2 x 2 x 3 x 7. Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12.
Le PPCM est égal 84 × 270 ÷ 6 soit 3 780. Le PGCD est égal au dernier reste non nul : 6.
Méthode 2 : le tableau des diviseurs premiers
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
On effectue la division euclidienne du plus grand par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul.
2. D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
Il s'agit de calculer le PGCD de 84 et 147, en utilisant l'algorithme d'Euclide (détail ci-contre). 2) Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ? Chaque personne aura alors 84 21 = 4 sucettes et 147 21 = 7 bonbons (donc 11 friandises au total).
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
PGCD ( 182 ; 78 ) = 26 Julie pourra faire 26 bouquets identiques.
1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. Algorithme d'Euclide 210 = 135 x 1 + 75 135 = 75 x 1 + 60 75 = 60 x 1 + 15 60 = 15 x 4 + 0 Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
Le plus grand commun diviseur à 162 et 108 est 54; le cuisinier peut donc préparer 54 barquettes.
Alors, puisqu'on sait que le plus grand commun diviseur de 240 et 400 est 80, cela veut dire que tu auras 80 bouquets.
Plus grand diviseur commun
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Les diviseurs communs de 30 et 18 étant 1, 2, 3 et 6, leur PGCD est 6. Ce qui se note : PGCD(30, 18) = 6. Les diviseurs communs à plusieurs entiers sont les diviseurs de leur PGCD.
Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6. Le PGCD (12 ; 18) est 6. Méthode 2 : Algorithme des soustractions.
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24. Ces nombres ont aussi d'autres diviseurs communs, soit 2 et 4, mais il ne s'agit pas de leur plus grand diviseur commun.
84 = 2 ×3×7 4.
- Le PGCD de a et de b est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions affectés de leur plus petit exposant. - Le PPCM de a et b est égal au produit de tous les facteurs premiers des deux décompositions affectés de leur plus grand exposant.
Le PGCD est le dernier reste non nul, c'est-à-dire PGCD(72 ;40)=8. Deux nombres a et b sont dits premiers entre eux si PGCD(a;b)=1. Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction a b est irréductible.
Reprenons 30 et 48 : 30=2×3×5. 48=2×2×2×2×3. On remarque que le produit 2×3=6 est commun aux deux et est le plus grand produit commun, il est donc le PGCD.
Les facteurs communs pour 48,84 sont 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 est 12 . Ce site utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web.
682 et 352 sont tous les deux des nombres pairs donc ils ne sont pas premiers entre eux. 2. Donc le PGCD de 682 et 352 est 22.