On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
position relative d'une droite et d'un plan
Pour cela, on pense à utiliser →n un vecteur normal du plan et →u un vecteur directeur de la droite . Si →n⋅→u=0 alors la droite est parallèle au plan. Si →n⋅→u≠0 alors la droite est sécante au plan. Si →n et →u sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.
Pour déterminer si un vecteur est normal à une droite (AB), on doit rechercher si et sont orthogonaux, c'est à dire si . Soit A(0 ;2) et B(1 ; 4) et . Le vecteur est-il normal à la droite (AB) ? normal à la droite (AB) signifie que et sont orthogonaux, c'est à dire que l'on a : .
Les vecteurs unitaires permettent de définir la direction et le sens d'un vecteur non nul de E. Tout vecteur non nul v est la multiplication du vecteur unitaire u = v/║v║ par un nombre réel strictement positif, à savoir la norme ║v║ de v. v = ║v║u. Pour tout vecteur ayant un sens opposé à v, on a :v = -║v║u.
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs . Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P. P est le plan d'équation est normal à P.
Un vecteur normal à une droite d quelconque du plan est un vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de d. Remarque Ce vecteur est alors orthogonal à tout vecteur directeur de d .
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu'il est multiplié avec ( 2 ; − 3 ; 5 ) .
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
La position d'un point en mouvement est alors donnée par ses coordonnées et . On appelle vecteur-position le vecteur qui relie l'origine du repère au point étudié.
La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur v → = ( v x v y ) , la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la droite normale à une courbe ou à une surface en un point est une droite perpendiculaire à la tangente ou au plan tangent en ce point. Tout vecteur directeur de cette droite est appelé vecteur normal à la courbe ou à la surface en ce point.
Les coordonnées d'un vecteur v de notre espace vectoriel favori R2 dans une base (i,j) sont deux nombres x et y qui vérifient l'équation caractéristique des coordonnées : v = xi + yj. La recherche des coordonnées est donc un probl`eme de décomposition linéaire. (1 2 ) = x (3 4 ) + y (5 6 ) .
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A. Remarque : Les coordonnées du vecteur AB* représentent le chemin horizontal et vertical qui permet d'aller du point A au point B.
Coordonnées d'un vecteur
Avec deux vecteurs perpendiculaires de même origine et de même longueur, on peut former ce que l'on appelle un repère orthogonal. Si de plus, les vecteurs et sont de longueur 1 (ou de norme 1), on dit que le repère est orthonormé.
Pour un mouvement rectiligne, ⃑ 𝑣 ( 𝑡 ) = 𝑣 ( 𝑡 ) ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑥 ( 𝑡 ) = 𝑥 ( 𝑡 ) ⃑ 𝑢 , où 𝑥 ( 𝑡 ) et 𝑣 ( 𝑡 ) sont les composantes respectives du vecteur position et du vecteur vitesse le long de l'axe du mouvement. Il est à noter que l'on écrit souvent simplement 𝑣 = 𝑥 𝑡 d d .
La norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de quatre au carré plus 10 au carré. Quatre au carré est 16 et 10 au carré est 100, donc la norme de 𝐴𝐵 est la racine carrée de 116.
Etapes. Un vecteur N → \overrightarrow N N non nul est normal à un plan P si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P. n est donc orthogonal à A B → \overrightarrow {AB} AB .
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. 1°) Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
On connaît l'équation de la droite
Soit ( O , ı → , ȷ → ) un repère du plan et une droite d'équation a x + b y = c , où , et sont des nombres réels donnés. Alors les vecteurs u → ( − b a ) et u ′ → ( b − a ) et tout vecteur qui leur est colinéaire, sont des vecteurs directeurs de la droite .
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Si on connaît les coordonnées (a ; b) et (c ; d) de deux points d'une droite, on peut calculer son coefficient directeur m. On peut ensuite écrire immédiatement qu'une équation de cette droite est y - b = m(x - a).