Pour trouver un extremum, résolvons f ′ ( x ) = 25 − 2 x = 0 . Ainsi, x = 12 , 5 . La dérivée seconde de la fonction est : f ″ ( x ) = − 2 . Comme la dérivée seconde est négative, la fonction admet un maximum en x = 12 , 5 .
Lorsque E est muni d'une distance ou d'une norme, on peut aussi définir les extrema locaux. On dit que f admet un maximum local (ou relatif) en a s'il existe un voisinage V de a dans E tel que, pour tout x∈V x ∈ V , on a f(x)≤f(a) f ( x ) ≤ f ( a ) .
Définition. On dit que f admet un extremum local en x0 , s'il existe un intervalle ouvert I(x0) centré en x0 tel que, pour x appartenant à I(x0), f(x)-f(x0) garde un signe constant.
L'extremum d'une fonction polynôme de la forme f(x)= ax² + bx + c est atteint lorsque x= −b 2a . Si a est positif alors f ( −b 2a ) correspond à la valeur minimale de la fonction, si a est négatif, cela correspond au maximum de la fonction.
Alors la fonction admet un maximum M (ou un minimum m). Il y a une deuxième méthode : Si f(M) - f(x) > 0, alors M est le maximum de f. Si f(m) - f(x) < 0, alors m est le minimum de f.
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par f (x) = a(x − α)2 + β, avec a ≠ 0. f admet un extremum en x = α. Cet extremum est égal à β. Si a > 0, f admet un minimum.
Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un maximum M en un point a de E si M = f(a) et si, quel que soit x de E, f(x) est inférieur ou égal à f(a). On dit alors que M est le maximum de l'ensemble des images de f.
Le maximum de deux nombres, c'est leur somme PLUS la valeur absolue de leur différence, le tout divisé par 2.
Comment trouver le maximum et le minimum d'une fonction avec sa représentation graphique et sur un intervalle donnée ? Les images de f se lisent sur les ordonnées en partant des abscisses. Le maximum est la valeur de f la plus grande sur les ordonnées. Le minimum est la valeur de f la plus petite sur les ordonnées.
Calcul du minimum d'un polynôme de degré 2.
C'est égal à a*(- b/2a)^2 + b*(-b/2a) + c. Donc là c'est égal à quoi ? (- b/2a)^2, donc ça fait (-b)^2 ça, ça fait b^2 divisé par (2a)^2, ça fait 4a^2.
Comment trouver les extrema globaux d'une fonction continue sur un intervalle fermé trouvant tous les points critiques de 𝑓 ( 𝑥 ) sur l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , évaluant 𝑓 sur tous ses points critiques dans [ 𝑎 ; 𝑏 ] , vérifiant la valeur de la fonction aux bornes de [ 𝑎 ; 𝑏 ] .
Une fonction est dite croissante si elle ne fait que croître sur un intervalle donné, c'est-à-dire que pour chaque paire de points de cet intervalle, le point de gauche a une valeur inférieure ou égale au point de droite. Une fonction est décroissante si elle ne fait que décroître sur cet intervalle.
La forme canonique est une forme d'écriture paramétrique de l'équation d'une fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure de son graphique. On l'appelle aussi forme transformée.
Extrémum local d'une fonction
On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(x) ≤ f(a). On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.
est une fonction définie sur un intervalle et a ∈ I . admet un maximum local sur en signifie que est la plus grande valeur de la fonction sur . On peut en déduire que est croissante pour les valeurs de inférieures à et décroissante pour les valeurs de supérieures à .
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Les multiples d'un nombre
L'ensemble des multiples d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par chacun des nombres entiers (Z ). 12 est un multiple de 3 , car 3×4=12 3 × 4 = 12 . L'ensemble des multiples de 3 est obtenu en multipliant 3 par chacun des éléments de Z .
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers.
Le maximum d'un ensemble D est le plus grand élément de D, s'il existe. Propriété : -Si le maximum de D existe, alors il est égal à la borne supérieure. -Si la borne supérieure de D est un élément de D, alors c'est son max.
Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
On calcule le discriminant Δ = b2 – 4ac de la fonction polynôme f définie par f(x) = ax2 + bx + c. Étudier le signe du discriminant Δ. Si Δ < 0, alors cette équation n'admet pas de solutions réelles. Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique .
Sa formule est donc : bêta = (Cov(Rp, Rm))/Var(Rm).
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).