Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Soit une droite (d) de vecteur directeur et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).
Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0. . Deux droites D et Δ de vecteurs directeurs respectifs →u et →v sont dites orthogonales lorsque →u et →v le sont.
On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Pour une droite Δ et un point A∉Δ, le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H∈Δ tel que le vecteur →AH est orthogonal à la droite Δ, c'est-à-dire que →AH est un vecteur normal à la droite Δ.
D'après le rappel du début de chapitre, un projecteur p est orthogonal si et seulement si Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires orthogonaux, si et seulement si E0(p) et E1(p) sont des supplémentaires orthogonaux de E. p : Mn(R) → Mn(R), p(M) = M+t M 2 . Soit p, un projecteur d'un espace euclidien (E,〈·,·〉).
Deux droites tracées dans un repère du plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
Ces deux vecteurs→u et →v sont colinéaires si z→vz→u z v → z u → est un réel. Ils sont orthogonaux si ce quotient est un imaginaire pur. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O;→u;→v) ( O ; u → ; v → ) (…).
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
◦ Soit n un entier. On dit qu'une famille de points {x1,..., xn} de E est orthogonale si ⟨xi, xj⟩ = 0 pour tous i, j avec 1 ≤ i, j ≤ n et i ̸= j. Si de plus ⟨xi, xi⟩ = 1 pour tout i, on dit que cette famille est orthonormée.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Pour que deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul. Afin de trouver la solution, il suffit de trouver lequel de ces vecteurs ne donne pas un produit scalaire nul lorsqu'il est multiplié avec ( 2 ; − 3 ; 5 ) .
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E , qui se décompose uniquement en x=y+z x = y + z avec y dans F et z dans F⊥ , associe s(x)=y−z. s ( x ) = y − z .
Un repère orthogonal du plan est composé de deux droites graduées perpendiculaires et de même origine. L'une horizontale est appelée axe des abscisses et l'autre verticale est appelée axe des ordonnées. Définition 2 : Chaque point est repéré par deux nombres appelées coordonnées du point.
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales.
La propriété de orthocentre d'un triangle.
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle de 90 degrés, c'est-à-dire un angle droit.
Corollaire 9 – Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si l'image par f d'une base orthonormale de E est une base orthonormale. Corollaire 10 – Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si sa matrice M dans une base orthonormale vérifie tMM = In. tM = M−1.
Le projeté orthogonal de \text{M} sur \mathcal{P} est l'intersection du plan et de la droite de vecteur directeur \vec{n} passant par \text{M}.
Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur opposée à un angle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de l'angle.
Définition et propriété
Soit M M M un point du plan et ( d ) (d) (d) une droite. On appelle projeté orthogonal de M M M sur ( d ) (d) (d) le point d'intersection H H H de ( d ) (d) (d) et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point M M M.
Propriétés du triangle isocèle
Si H est la projection orthogonale de A sur la droite (BC), les triangles AHB et AHC sont rectangles en H. Le théorème de Pythagore s'applique et donne : AB2 = AH2 + HB2 ; et AC2 = AH2 + HC2. L'égalité des longueurs AB et AC équivaut donc à l'égalité des longueurs HC et HB.