On peut réécrire l'expression e, qui est simplement 0, sous la forme 0 ? , donc 0 est un monôme.
Les monômes sont des expressions algébriques contenant un seul et unique terme. Les termes peuvent être constants ou algébriques. 4,6xy2z3 4 , 6 x y 2 z 3 et 34d sont tous des monômes.
En algèbre, un monôme est un polynôme dont un seul coefficient est non nul. Autrement dit, c'est un polynôme particulier qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées (notées X, Y…) affecté d'un coefficient. sont des monômes en une indéterminée.
Polynôme unitaire : polynôme dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1 ; Polynôme cyclotomique : pour tout entier n > 0, le n-ième polynôme cyclotomique est le produit des X – ζ, avec ζ parcourant les racines complexes n-ièmes primitives de l'unité.
Constante littérale ou numérique qui multiplie la variable considérée.
En algèbre commutative, le degré d'un polynôme (en une ou plusieurs indéterminées) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une somme de monômes. Le degré d'un terme est la somme des exposants des indéterminées qui y apparaissent.
Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Plus précisément, pour tout x réel on a : P(x) = anxn +an−1 xn−1 +···+a1x +a0 = 0 ⇐⇒ a0 = 0, a1 = 0, . . ., an = 0.
La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. Par exemple, divisons 2x4−18x2+2x+5 par x+3.
Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. littérales (lettres différentes) . Pour additionner ou soustraire des monômes semblables, on utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
La multiplication d'un monôme par un monôme
Lorsqu'on multiplie deux monômes ensemble, on multiplie les coefficients des deux monômes et on additionne les exposants affectant les variables identiques. Soit les deux monômes suivants : −3x3y4 − 3 x 3 y 4 et 4xy2 4 x y 2 .
Si a≠0 alors le monôme ax2 est présent. Si a≠0 alors nous avons une fonction polynôme de degré 2. Si a=0 et b≠0 nous avons affaire à une fonction polynôme de degré 1, que l'on appelle une fonction affine.
– Un polynôme est dit réduit lorsqu'il ne comporte plus de monômes semblables. – Un binôme est un polynôme réduit comprenant deux termes. Un trinôme est un polynôme réduit comprenant trois termes.
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 = −b− √∆ 2a = −2− √16 2·1 = −2−4 2 = −3 x2 = −b+ √∆ 2a = −2+ √16 2·1 = −2+4 2 = 1. L'ensemble solution est donc S = {−3;1}.
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré. Le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Soit le polynôme P(x)=3x2-5x+7. Son coefficient dominant est 3 et son coefficient constant est 7.
Si est un polynôme non nul, l'expression a n X n où est le degré de (i.e. a n ≠ 0 ), est appelée terme dominant de et notée d o m ( P ) . Le coefficient est appelé coefficient dominant du polynôme . Un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.
La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de f. On admet que cette forme est unique. Soit a, b et c, trois réels où a ≠ 0. Cette forme est appelée la forme canonique du polynôme.
avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X2 – X sont 0 et 1.