Deux matrices de même rang ne sont pas nécessairement semblables. Ainsi, Deux matrices semblables ont même déterminant. Rappelons qu'une matrice P ∈ Mn(R) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. Les valeurs propres du produit de deux matrices sont les produits des valeurs propres des deux matrices. Si un vecteur est vecteur propre pour deux matrices, il est vecteur propre de leur produit.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Les matrices $ ( 1 1 0 1 ) $ et $ ( 1 0 0 1 ) $ ont même trace et même déterminant, mais ne sont pas semblables. Pour montrer qu'elles ne sont pas semblables, tu suppose qu'il existe P telle que $ ( 1 1 0 1 ) = P^{-1}.
Si une matrice a une ligne identiquement nulle, alors son d éterminant est nul. Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At).
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Le rang d'une matrice est celui des applications linéaires qu'elle représente, qui ne dépend pas des bases. Si deux matrices représentent la même application dans des bases différentes, elles auront nécessairement même rang.
On dit qu'une matrice carrée A est nilpotente s'il existe un entier naturel p tel que la matrice Ap soit nulle. L'indice de nilpotence est alors le plus petit p. et 0 l'endomorphisme nul.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice, calculer les racines de son polynôme caractéristique. Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) M=[1243] M = [ 1 2 4 3 ] a pour polynôme caractéristique P(M)=x2−4x−5=(x+1)(x−5) P ( M ) = x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1 ) ( x − 5 ) .
Or deux matrices M et N semblables ont le même polynôme caractéristique. Les matrices A B et B A , étant semblables, ont donc le même polynôme caractéristique. 2. a Si le scalaire t n'est pas une valeur propre de A , il n'est pas racine du polynôme caractéristique de A , donc P car , A ( t ) ≠ 0 .
Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.
Propriété Les valeurs propres d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) sont les coefficients diagonaux de la matrice. Démonstration Soit T une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux s'écrivent a1 , … , a n .
Si la matrice n'est pas carré, elle n'est pas inversible ! et le déterminant d'une matrice non carrée n'existe pas ! 2) Si A est inversible (et donc carrée) alors l'inverse de A s'écrit A^-1 et A*A^-1 = identité.
On rappelle que le rang d'une matrice est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande de ses sous-matrices carrées de déterminant non nul. On remarque aussi que l'une des lignes de la matrice ? peut être obtenue comme combinaison linéaire des deux autres lignes.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l'espace, alors A est diagonalisable. Cela peut aussi se dire : si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable (la multiplicité de chaque racine est 1).
Les formes du déterminant numéral
On peut par contre les séparer en deux catégories : les déterminants numéraux simples et les complexes. un/une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent, mille ...
Pour analyser un déterminant,on précise sa nature (article défini ou indéfini, adjectif possessif ou démonstratif....) puis on indique son genre, son nombre et sa fonction. Dans l'exemple : Le: article défini, masculin, singulier, détermine le nom gymnaste. exemple: Ce vase bleu est beau.