La fonction racine carrée n'est pas dérivable dans son ensemble de définition. Dérivable pour tous réels strictement positifs : sauf zéro.
Donc �� n'est pas dérivable en 0. Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0.
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h).
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue.
Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l'intervalle mais elle n'est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l'intervalle .
Propriété Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Le quotient de 2 racines carrées ets égale a la racine carrée du quotient.
Dérivabilité et continuité
La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
Une fonction n'est pas dérivable en un réel a de son domaine si notamment la dérivée à gauche en ce point est différente de la dérivée à droite en ce même point.
Exemple 1.7 (Valeur absolue)
Soit f la fonction « valeur absolue » : f (x) = |x|. f (x)−f (0) x =−1. Ainsi f est dérivable à droite et à gauche en 0 : fd (0)=+1 et fg (0) = −1, mais fg (0) = fd (0) donc f n'est pas dérivable en 0.
La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que f:I→C f : I → C est dérivable si et seulement Re(f) ℜ e ( f ) et Im(f) ℑ m ( f ) sont dérivables.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a ∈ I, et h un réel non nul (a+h ∈ I). tend vers 0. u est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f'(a)=u. Si f est dérivable en a, la tangente (Ta) à Cf au point A d'abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).
Toute racine de 1 est 1 .
Les élèves de 3ème savent bien que la racine carrée de -1 n'existe pas.
la limite en 0 de n'existe pas. On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en . Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n'étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0. La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en 0.
A l'inverse, la racine carrée d'un nombre est le résultat dont le carré est égal au nombre de départ. Le symbole de la racine carrée est √.
Une racine carrée d'un nombre réel positif est un autre nombre réel dont le carré est égal à celui de ce nombre initial. Symboliquement, la racine carrée d'un nombre a est représentée par le symbole √a. Par exemple, la racine carrée de 25 est 5, car 5 x 5 = 25.
La définition impose que « a » soit positif car le carré d'un nombre est toujours positif. Ainsi, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. De même, la racine carrée est définit comme un nombre positif.
Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est . Racines de carrés parfaits : √0 = 0 √25 = 5 √100 = 10 √1 = 1 √36 = 6 √121 = 11 √4 = 2 √49 = 7 √144 = 12 √9 = 3 √64 = 8 √169 = 13 √16 = 4 √81 = 9 Remarque : √−5 = ?
racine carrée de 81 =
= 9.
Une obtention de décimales par la méthode de Newton a été illustrée en 1922, concluant que √7 vaut 2,646 « au millième près ».
Il est fréquent de ne pas écrire le signe + ; on obtient alors : la valeur absolue de 7 est 7 ; la valeur absolue de –5 est 5, c'est-à-dire l'opposé de –5.
2 Continûment dérivable : Se dit d'une fonction dérivable une fois et dont la dérivée/les dérivées partielles est/sont continue(s). Une variable au départ On peut représenter la situation comme suit : Si 1) , et sont dérivables sur un ouvert ⊆ ℝ 2) est simplement dérivable3 sur un ouvert ⊆ ℝ³ .
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.