Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
Lemme 3.2. Une partie convexe de Rn est de dimension n si et seulement si elle admet un point intérieur. Elle n'est pas de dimension n si et seulement si il existe une application linéaire l : Rn −→ Rn−1 dont la restriction `a C est injective.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu.
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
Une fonction est dite concave sur un intervalle si, pour toute paire de points sur le graphe de , le segment de droite qui relie ces deux points passe en dessous de la courbe de . Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s'intéresser au signe de la dérivée de f '(x).
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Une droite est un sous-espace vectoriel (de l'espace vectoriel euclidien). Or tout sous-espace vectoriel est convexe.
Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à 180∘. 180 ∘ . Tous les polygones réguliers sont des polygones convexes.
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l'on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe.
La ligne convexe se courbe vers l'extérieur, et son milieu est plus épais que ses bords. Si une forme convexe est courbée vers l'extérieur, une forme concave est courbée vers l'intérieur.
Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe d'autres caractérisations : un quadrilatère est convexe si et seulement si : les diagonales se rencontrent. les diagonales sont situées à l'intérieur du quadrilatère. une droite du plan ne passant pas par un sommet rencontre au plus deux côtés du quadrilatère.
Dans la langue courante, concave signifie creux, soit une forme arrondie vers l'intérieur. Son contraire est convexe ou bombé. Le mot concavité a un sens directement relié au concept mathématique d'ensemble convexe, la concavité d'un objet désignant la partie de celui-ci qui a une forme en creux.
Une partie F d'un espace affine E de direction E est un sous-espace affine s'il est vide ou s'il contient un point A tel que F={−−→AB; B∈F} F = { A B → ; B ∈ F } est un sous-espace vectoriel de E . La dimension de F est la dimension de F .
Définition: Définition : Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles n'ont aucun point en commun. Les droites (d1) et (d2) sont parallèles. Remarque : Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
Une fonction f:I→R f : I → R , où I est un intervalle, est convexe si, pour tous x et y de I , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
Exemples de polygones : Pour être un polygone, une figure géométrique doit être constituée de segments formant une ligne brisée fermée. C'est pourquoi un cercle n'est pas un polygone, la ligne qu'il dessine n'est pas brisée, elle est courbe. Les segments qui constituent un polygone sont appelés côtés.
Un polygone non convexe (voir aussi non-convexe), concave ou rentrant, désigne un polygone simple ayant au moins un angle rentrant intérieur, c'est-à-dire un angle dont la mesure se situe entre 180 et 360 degrés.
Un demi-cercle est un polygone. Un polygone à 3 côtés est un losange.
Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Une fonction dérivable f est convexe lorsque sa dérivée est croissante et concave lorsque sa dérivée est décroissante.
La dérivée seconde indique la variation de la pente de la courbe représentative et permet de mesurer la concavité locale de la courbe. Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle.
Une fonction f est strictement convexe sur I si et seulement si ∀λ ∈ [0,1], ∀(x, y) ∈ I2, f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y).