l'ensemble vide admet –∞ comme borne supérieure, car tout élément de ℝ est un majorant de l'ensemble vide et le plus petit d'entre eux est –∞ (et il admet +∞ comme borne inférieure).
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.
Au fait pour montrer qu'un ensemble n'est pas borné, on peut comme le dit Bisam trouver une suite de points dont la norme tend vers l'infini, ou alors montrer qu'il contient un ensemble non borné. Pour tes deux exemples on trouve facilement des droites qu'ls contiennent, et on sait qu'une droite n'est pas bornée.
L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble : pour tout ensemble B, ∅ ⊂ B (en effet, puisque ∅ n'a pas d'éléments, il n'est pas possible de trouver un élément de ∅ qui ne soit pas dans B). Pour dire que A est inclus dans B, on dit aussi que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est une partie de B.
En ensemble vide ne contient aucun élément. On le représente par le symbole « Ø » ou par deux accolades vides « { } ».
Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble A est vide, on peut, pour tout x∈A x ∈ A , trouver une suite (xn) dans le complémentaire de A qui tend vers x (voir cet exercice). trouver une suite (xn) qui converge vers a et telle que (f(xn)) ( f ( x n ) ) ne converge pas.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
Définition : On dit qu'un réel est un majorant de si tout élément de est inférieur ou égal à . On dit que est majorée si admet un majorant (elle en admet alors une infinité). On définit de même un minorant, une partie minorée.
Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
On dit que A est inclus dans B si chaque élément de A est un élément de B. On note A ⊂ B. On dit aussi “A est contenu dans B” ou “A est une partie de B” ou “A est un sous-ensemble de B”. Remarques - • A ⊂ A • Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C • A = B si et seulement si (A ⊂ B et B ⊂ A).
Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels.
Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
La limite d'une fonction, c'est en gros « vers quoi tend » la fonction. Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse : On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c'est-à-dire qu'elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
- max(A) est le plus grand élément de A, i.e. un élément de A tel que tous les autres soient plus petits. Il n'existe pas nécessairement mais s'il existe il est unique. - sup(A) est le (un) plus petit élément de E qui soit plus grand que tous les éléments de A.
Pour montrer l'inégalité sup(A) ≤ inf(B), commençons par montrer que sup(A) est un minorant de B. Il s'agit donc de montrer que, pour tout y ∈ B, sup(A) ≤ y. Soit y ∈ B quelconque. Comme on l'a vu quelques lignes plus haut, y est un majorant de A.
Soit(E,T) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.
L'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il n'en a pas. De manière générale, une assertion commençant par quelque chose du genre "∀x∈∅" est vraie; en quelque sorte, il n'y a rien à vérifier.
Une partie X de E est ouverte si et seulement si pour tout élément x de X, il existe un réel δ > 0 tel que B(x, δ) ⊂ X. B) On montre que X est une réunion (quelconque) de parties ouvertes ou une intersection finie d'ouverts.