Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels.
La fonction f est continue sur l'intervalle fermé borné [0,A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour tout x ∈ [0,A], f(x) ⩽ M. En prenant M = max(M,l + 1), nous avons que pour tout x ∈ R, f(x) ⩽ M . Donc f est bornée sur R.
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.
Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Terme utilisé pour désigner un plus petit ou un plus grand objet d'un ensemble de nombres ou d'une figure géométrique. Une borne peut appartenir ou ne pas appartenir à l'ensemble concerné. Les bornes d'un intervalle sont les limites de cet intervalle. La borne d'une figure est la frontière de cette figure.
l'ensemble vide n'a pas de borne supérieure ni inférieure ; l'intervalle ]0, 1[ admet 0 comme borne inférieure et 1 comme borne supérieure ; l'ensemble {(–1)n+1/n | n = 1, 2, 3…}
Au fait pour montrer qu'un ensemble n'est pas borné, on peut comme le dit Bisam trouver une suite de points dont la norme tend vers l'infini, ou alors montrer qu'il contient un ensemble non borné. Pour tes deux exemples on trouve facilement des droites qu'ls contiennent, et on sait qu'une droite n'est pas bornée.
Soit f:E->R une fonction. * f est majorée si f(x)< (ou =) M pour tout E de U. On dit alors que M est un majorant de f.
Fonctions minorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'minorée sur D' sur l'ensemble f(D) est minoré, autrement dit s'il existe un réel m tel que f(x)≥m ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est minorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne inférieure.
Les bornes (supérieure et inférieure) d'une fonction se lisent sur son TV : ce sont le plus grand et le plus petit des nombres qui apparaissent dans la ligne des y.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
être borné
1. Manquer d'intelligence, avoir des idées étroites ; être obtus, limité : Individu, esprit borné. 2. Avoir des bornes, des limites : Son avenir est borné.
Pour montrer l'inégalité sup(A) ≤ inf(B), commençons par montrer que sup(A) est un minorant de B. Il s'agit donc de montrer que, pour tout y ∈ B, sup(A) ≤ y. Soit y ∈ B quelconque. Comme on l'a vu quelques lignes plus haut, y est un majorant de A.
Dire que f est minorée sur un intervalle I c'est dire qu'il y a un nombre m tel que pour tout nombre x de I, on a f(x)>=m. On dit aussi que m minore f sur I, ou que f est minorée par f sur I. Si m minore f sur i, pour tout nombre n<m, n minore f sur I. Avec ça, on peut se débrouiller.
Une fonction est constante si et seulement si son image est réduite à un singleton. Une fonction constante d'une variable réelle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. La dérivée d'une fonction constante est nulle.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Pour majorer f − g, on majore f , on minore g , puis on retranche le minorant de g au majorant de f . Pour majorer x3 − sinx avec x ∈ [2,3], je majore x3 par 27 et je minore sinx par −1, et je conclus que la différence est majorée par 28.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (un).
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f . f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m . On dit que m est un minorant de f .
Une fonction f non majorée prend des valeurs f(x) aussi grandes que l'on veut. Soit M un nombre réel, I un intervalle de mathbbR et M ∈ I. Si la fonction f n'est pas majorée, alors f(x) ≥ M pour tout réel x de I suffisamment grand.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Définition : On dit qu'un réel est un majorant de si tout élément de est inférieur ou égal à . On dit que est majorée si admet un majorant (elle en admet alors une infinité). On définit de même un minorant, une partie minorée.
Soit(E,T) un espace topologique et A un sous-ensemble de E. On dit que A est un ensemble compact si, muni de la topologie induite par celle de E, il devient un espace compact. Par exemple, tous les sous-ensembles finis d'un espace topologique quelconque sont des ensembles compacts.