Toute fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment.
Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
sup I − ( f ) = inf I + ( f ) . Ce nombre est appelé intégrale de f sur [a,b] et est noté ∫baf ∫ a b f ou ∫baf(t)dt ∫ a b f ( t ) d t . Si f:[a,b]→C f : [ a , b ] → C est une fonction continue par morceaux à valeurs complexes, on définit son intégrale sur [a,b] par ∫baf=∫baRe(f)+i∫baIm(f).
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Si une suite de fonctions ( ) converge simplement sur vers une fonction , si la suite ( ) converge uniformément sur tout fermé borné de et si les sont continues sur , alors est continue sur .
Théorème de continuité sous l'intégrale: Soient I et J deux intervalles de R et f une fonction définie sur I × J vérifiant: 1. pour tout x ∈ I, la fonction t ↦→ f(x, t) est continue par morceaux sur J ; 2. pour tout t ∈ J, la fonction x ↦→ f(x, t) est continue sur I ; 3.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
F'(x) = G'(x) + m = f(x). Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I. Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Pour cela soit k un réel compris entre f(a) et f(b). On se place dans le cas où f(a) < f(b) (la démonstration est similaire dans l'autre cas : remplacer le mot minimum par le mot maximum) Posons g(x) = F(x) - kx ; g est dérivable donc continue sur [a,b], elle y admet donc un minimum, en un réel c de [a,b].
soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si on définit maintenant la fonction G sur R par : G(x)=4x+3 alors G est dérivable sur R et pour tout réel : G'(x)=f(x), donc G est aussi une primitive de f sur R .
Une primitive de f sur I, est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F'(x) = f(x). Toute primitive F(x), de la fonction f(x) est définie à une constante près. On définit l'ensemble des primitives G(x) par G(x)=F(x) + k où k est un réel.
Une fonction polynôme est la somme de fonctions puissance. Pour en trouver une primitive, il suffit de chercher une primitive de chacun des termes. Exemple : Soit f(x) = x2 + 2x + 1 définie sur \mathbb{R}.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
On appelle fonction logarithme népérien, noté ln (ou ), la primitive définie sur ,de la fonction x ↦ 1 x s'annulant pour . Pour : ln x > 0 est l'aire limitée par la courbe représentative y = 1 / t , l'axe et les droites d'équations et .
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
Définition La primitive F d'une fonction f définie et continue sur l'intervalle I est définie comme suit : ∀x ∈ I,F (x) = f (x). Remarque La fonction F est définie et dérivable sur I et sa dérivée est la fonction f . Sémantiquement On peut dire que la primitive est le contraire de la dérivée.
On parle souvent d'UNE primitive car chaque fonction en possède une infinité : dans la mesure où la dérivée d'une constante est nulle, l'expression f(x)=2x f ( x ) = 2 x peut avoir pour primitive aussi bien x2 que x2+1, x 2 + 1 , x2+200 x 2 + 200 ou x2−ln5.
pour tout x dans l'intervalle [a, b]. f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Dès lors que l'on est capable de modéliser le contour d'une surface par la courbe d'une ou de plusieurs fonctions mathématiques, le calcul intégral permet de déterminer l'aire de la surface. Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b].
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction f en un point a, on peut trouver deux suites (un) et (vn) qui tendent vers a telles que (f(un)) ( f ( u n ) ) et (f(vn)) ( f ( v n ) ) admettent des limites différentes (voir cet exercice).