Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts. Une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable (cf chapitre suivant d'algèbre).
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
En algèbre linéaire, une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d'un côté ou de l'autre de la diagonale principale. C'est en particulier le cas si la matrice est diagonale.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de la diagonale principale. En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale.
Propriété Toute matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors une matrice triangulaire de même sens avec des coefficients diagonaux inverses.
Méthode n°1 : Si A est une matrice triangulaire, A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. Méthode n°2 : Une matrice A est inversible si et seulement si la famille formée par ses vecteurs colonnes est libre.
Question d'origine : Est ce qu'on peut dire que la matrice nulle est une matrice diagonale ? Oui (si elle est carrée).
Si on additionne une matrice de dimension m × n et son opposée, on obtient la matrice nulle de dimension m × n . Quelle que soit la matrice , A + ( − A ) = O and − A + A = O .
En mathématiques, et en particulier en algèbre linéaire, une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Des exemples de matrices nulles sont : ayant des coefficients dans un anneau donné ; ainsi, lorsque le contexte apparaît clairement, 0 désigne la matrice nulle.
Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est égal au produit des termes diagonaux.
Définition : Matrice triangulaire
Si les éléments au-dessous de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire supérieure. Si les entrées au-dessus de la diagonale principale sont nuls, la matrice est une matrice triangulaire inférieure.
On transforme la matrice A en une matrice triangulaire supérieure U en éliminant les éléments sous la diagonale. Les éliminations se font colonne après colonne, en commençant par la gauche, en multipliant A par la gauche avec une matrice triangulaire inférieure.
Condition suffisante de diagonalisation
Si le polynôme caractéristique de (respectivement de ) admet racines distinctes, alors (respectivement ) est diagonalisable.
5) Une matrice diagonalisable n'est pas forcément inversible : si elle admet 0 comme valeur propre, elle a un noyau non nul donc n'est pas inversible. Pour la réciproque, elle est fausse.
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
On dit d'une telle matrice qu'elle est non inversible. Par exemple, A=[1000] A = [ 1 0 0 0 ] est non inversible puisque BA=[a0c0] B A = [ a 0 c 0 ] pour chaque B=[abcd], B = [ a b c d ] , d'où BA≠[1001] B A ≠ [ 1 0 0 1 ] peu importe les valeurs de a,b,c a , b , c et d .
Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d'endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de dimension finie. Cette notion facilite souvent le calcul matriciel.
Ainsi, pour calculer l'inverse, la première étape est de trouver la matrice des mineurs. La deuxième étape est ensuite de trouver la comatrice. Ensuite, la troisième étape consiste à trouver la transposée de la comatrice.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n .
En tenant compte de la structure particulière du second membre, nous trouvons x1 = 1 l11 b1 = 0, x2 = 1 l22 [b2 - l21x1]=0, ··· xk = bk lkk . Construire l'inverse de L revient à résoudre N systèmes linéaires tels que Ly(k) = e(k). 1 lkk .
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = In avec In, la matrice identité d'ordre n.
- Une matrice est régulière si det [A] ≠ 0, singulière dans le cas contraire (autrement dit, une matrice carrée d'ordre n est régulière si son rang est égal à n). - Si [A] est orthogonale, det ([A]) vaut ± 1. C'est le déterminant de la matrice dont on a enlevé une ligne et une colonne.