Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en algèbre linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation.
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.
Si une matrice a une ligne identiquement nulle, alors son d éterminant est nul. Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At).
En grammaire, un déterminant est un mot-outil variable dont la fonction syntaxique est d'actualiser le nom en indiquant, le cas échéant, un certain nombre de précisions concernant celui-ci : genre, nombre, personne, etc.
Le déterminant est un mot qui précède un nom et qui permet à ce nom d'être utilisé dans une phrase. Les dossiers sont rangés dans cette armoire (et non Dossiers sont rangés dans armoire : les et cette sont des déterminants).
L'application définie par le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne. Si deux colonnes d'une matrice sont égales, son déterminant est nul. Le déterminant de la matrice unité est égal à 1.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
On trouve généralement devant lui un petit mot, appelé le déterminant. Généralement, il est formé avec un seul mot, mais il peut être constitué avec 2 mots. Voici quelques exemples : un, une, des, le, la, les, l', du, de l'
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Comment calculer les mineurs d'une matrice ? Pour une matrice carrée d'ordre 2, trouver les mineurs c'est calculer la matrice des cofacteurs sans les coefficients. Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, calculer les déterminants de chaque sous-matrice.
C'est dans le cadre de la décomposition polaire. On a A=U|A| avec U orthogonale. Remarque sur la notation |A| : si A est normale, alors |A| s'obtient pas calcul fonctionnel : |A|=f(A) où f est la fonction f:Sp(A)→C est définie par f(z)=|z|. A=|A|exp(iarg(A)) comme z=|z|eiarg(z).
La diagonalisation d'un endomorphisme permet un calcul rapide et simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles.
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice carrée est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Le déterminant numéral est un type de déterminant qui désigne un nombre. Zéro, vingt et soixante sont des exemples de déterminants numéraux. Le déterminant numéral est une sorte de déterminant employé lorsqu'on souhaite nommer le nombre de réalités désignées par le nom qu'il introduit.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Le déterminant se place toujours devant le nom. Il se distingue ainsi de l'adjectif qui peut se placer immédiatement avant (adjectif antéposé) ou juste après le nom (adjectif postposé) ou, parfois avant et après. L'adjectif peut aussi être détaché du nom.
Un déterminant est un mot, souvent court, qui précède un nom et le détermine, c'est-à-dire qu'il en indique le genre (féminin ou masculin) et le nombre (singulier ou pluriel). Le déterminant s'accorde en genre et en nombre avec le nom qu'il introduit.
En linguistique, le déterminant zéro est l'absence de déterminant en tête d'un GN.