Les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables indiquent comment varie la fonction lorsque l'on fait varier une seule des variables.
Pour étudier l'existence d'une dérivée partielle par rapport à la première variable en (0,0) ( 0 , 0 ) , on étudie le taux d'accroissement f(t,0)−f(0,0)t=0→0. f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) t = 0 → 0. Donc ∂f∂x(0,0) ∂ f ∂ x ( 0 , 0 ) existe et vaut 0.
La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition. En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
La dérivée seconde peut également être utilisée pour déterminer la nature d'un point stationnaire. Cependant, la règle de la dérivée seconde se limite à l'étude des points stationnaires. Soit la fonction et ∗ un point stationnaire de celle-ci.
Ce qu'il faut retenir : la différentielle en un point est une application linéaire, alors que la dérivée en un point est un nombre.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
Pour la retenir, la meilleur façon à mon avis est de la comparer à la dérivée d'une fonction quelconque u(x). Ici x est la variable et on note toujours (u(x))' = u'(x). Rien de nouveau. Maintenant, quand on compose 2 fonctions, on a u(v) où cette fois v est une fonction qui en fait s'écrit v(x).
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction change de convexité. La convexité d'une fonction sur un intervalle est liée au signe de la dérivée seconde sur cet intervalle. Donc si la dérivée seconde change de signe en un point, alors la fonction change de convexité en ce point.
si la dérivée est nulle sur tout l'intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur . Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition.
Naissance de la notion de dérivée : Sir Issac Newton et Gottfried Wilheim Leibniz (fin du XVIIè s.)
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.
Pour lire graphiquement le nombre dérivé de f en a, on lit le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a ou on le calcule avec la formule xB−xAyB−yA avec (AB) tangente en A à la courbe de f.
On dit que f admet une dérivée en a suivant v si l'application ϕ : t ↦→ f(a + tv) est dérivable en 0. La dérivée ϕ (0) est alors appelée dérivée de f en a suivant v. Remarque 3.5. Si elle existe, la k-ième dérivée partielle de f au point a n'est autre que la dérivée de f en a suivant ek.
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn , à valeurs dans Rp et soit a un point de U . On dit que f est différentiable en a s'il existe une application linéaire L de Rn dans Rp telle que f(a+h)=0f(a)+L(h)+o(∥h∥). f ( a + h ) = 0 f ( a ) + L ( h ) + o ( ‖ h ‖ ) .
Cas des 1-formes
Une 1-forme ω définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction F différentiable sur U telle que ω = dF autrement dit : si le champ de vecteurs par lequel ω est le produit scalaire est un champ de gradient.
anguleux, anguleuse
Se dit d'un point d'une courbe où la demi-tangente à droite et la demi-tangente à gauche n'ont pas le même support.
En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe.
Une fonction f définie dans un sous-ensemble E de nombres réels admet un minimum m en un point a de E si m = f(a) et si, quel que soit x de E, f(x) est supérieur ou égal à f(a). On dit alors que m est le minimum de l'ensemble des images de f.
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Si la fonction f est continue sur I et si fs est continue en a alors f est dérivable en a. Pour une fonction continue sur I, l'existence d'une dérivée symétrique positive suffit pour affirmer que f est croissante et l'existence d'une dérivée symétrique constamment nulle suffit pour prouver que f est constante.
La notation f′ (qui se lit f prime ) pour désigner la dérivée de la fonction f est due au mathématicien français Lagrange (1736 - 1813). Cette notation est la plus usuelle et la plus simple si la fonction étudiée est une fonction d'une seule variable.
Définition Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont les points o`u son gradient s'annule. Les points critiques de f := (x,y) ↦→ x3 − 3x + y2 sont ceux qui vérifient les deux équations 3x2 − 3=0et2y = 0. On trouve deux points critiques : (1,0) et (−1,0).
Les dérivées partielles ∂f ∂xi (x1,...,xn) sont des fonctions de x1,...,xn, et il arrive souvent qu'elles sont eux-même dérivables. d'une dérivée partielle seconde de f. F(x + h) − F(x) − L · h h = 0. L est la différentielle de F en x et se note : dF(x).
Définition : Une fonction f : (x,y) → f(x,y) est dite homogène de degré k ssi : pour tout a∈R tel que f soit définie en (ax,ay) et (x,y), f(ax,ay) = akf(x,y).