En particulier, elle permet de calculer la probabilité qu'une
D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard.
Une loi est uniforme entre une valeur a et une valeur b lorsque la densité de probabilité est toujours égale sur cet intervalle et nulle en-dehors.
La probabilité qu'un élément donné soit sélectionné augmente par conséquent à chaque essai à partir du moment où il n'a pas encore été sélectionné. Utilisez la loi hypergéométrique pour les échantillons prélevés auprès de populations relativement restreintes, sans remise.
La distribution spatiale des individus dans une population biologique peut être uniforme lorsque les individus interagissent de telle manière que la distance entre eux soit identique (par exemple, dans un groupe de manchots Aptenodytes patagonicus sur la banquise).
La loi normale s 'applique en général à une variable aléatoire continue représentée par l'ensemble des valeurs qu'elle prend n'est pas dénombrable (un intervalle). Ex: glycémie; cholestérolémie ;poids…… l'ensemble des valeurs qu'elle prend n'est pas dénombrable (un intervalle).
En théorie des probabilités, une loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète pour laquelle la probabilité de réalisation est identique (équiprobabilité) pour chaque modalité d'un ensemble fini de modalités possibles.
Exemple : On réalise une épreuve aléatoire dont la probabilité d'un succès est p. p . Si X est la variable aléatoire qui vaut 1 s'il y a succès, 0 sinon, alors X suit une loi de Bernoulli de paramètre p. p .
On pose : On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E. Par définition, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X) = p et sa variance V(X) = pq.
Exemple. Par exemple, dans pile ou face, le lancer d'une pièce de monnaie bien équilibrée tombe sur pile avec une probabilité 1/2 et sur face avec une probabilité 1/2. Une pièce peut ne pas être équilibrée et dans ce cas, on obtient pile avec une probabilité p ≠ 1/2 et face avec une probabilité q = 1 – p ≠ 1/2.
Définition. Alors, définir la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète X , c'est déterminer la probabilité des événements [X=xk] pour chacune des valeurs xk de X(Ω) .
De façon générale, la loi géométrique apparaît lorsque l'on répète une même expérience, de façon indépendante, et que l'on attend qu'un événement se réalise le nombre de fois où un événement se réalise. Précisément, on considère le numéro de l'expérience à laquelle survient le premier succès.
On dit qu'une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre λ sur , lorsque sa densité de probabilité associée est la fonction f définie sur par .
La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 − p ) . Ici, (n\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
L'équation de Bernoulli peut être considérée comme l'application du principe de conservation de l'énergie dans un fluide en mouvement.
La loi de probabilité donnant le nombre de succès sur ces n répétitions est la loi binomiale de paramètres n et p (notée B(n;p)). Il s'agit en fait d'une généralisation de la loi de Bernoulli dans le cas où l'on répète plusieurs fois l'expérience.
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli (répétition un nombre fini de fois de façon indépendante d'une même épreuve de Bernoulli).
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p∈[0,1] p ∈ [ 0 , 1 ] lorsque X est à valeurs dans {0,1} et que P(X=1)=p et P(X=0)=1−p.
► Démonstration de (P1)
Soit q un réel vérifiant q > 1. On a : q > 1, il existe un réel a tel que q = 1 + a et a > 0. Donc d'après le lemme de l'inégalité de Bernoulli, on a : qn = (1 + a)n ≥ 1 + na.
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a,b] si X admet pour densité la fonction f définie par f(x)={1b−a si x∈[a,b]0 sinon. f ( x ) = { 1 b − a si x ∈ [ a , b ] 0 sinon.
Pour calculer la probabilité d'un événement, vous pouvez simplement utiliser la formule générale de probabilité : P = n/N. Vous devez donc connaître le nombre d'issues favorables et le nombre total d'issues possibles.
On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p\left(F\right) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements. Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.
La représentation graphique d'une loi normale est parfois appelée courbe en cloche, en raison de sa forme évasée à la base. La forme exacte varie selon la répartition de la population, mais le sommet est toujours situé au milieu et la courbe est toujours symétrique.
Centrer-réduire les variables est très utile en analyse de données : Cela équivaut à un changement d'unité, et n'a pas d'incidence sur les profils de variation.
L'écart-type
Il détermine la répartition de points de données par rapport à la moyenne. L'écart-type définit la largeur de la courbe ainsi que la distance entre la moyenne et les points de données. Si la valeur de l'écart-type est faible, la courbe est pointue. S'il est élevé, la courbe s'aplatit.