Un vecteur dans l'espace est défini par deux quantités : sa norme et sa direction (sens). Une relation spéciale se forme entre deux ou plusieurs vecteurs lorsqu'ils ont le même sens ou de sens opposés. Lorsque c'est le cas, on dit que les vecteurs sont parallèles.
Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul. Les droites (d) et (d') sont sécantes si et seulement si et ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de n'est pas nul.
Des vecteurs colinéaires, aussi appelés linéairement dépendants, sont des vecteurs qui ont la même direction. Dans un langage plus commun, des vecteurs colinéaires sont formés de droites qui sont parallèles.
Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) et ( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et –15 = –3 x 5 donc = 5 . c) (4 ; 5 ) et (8 ; –10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ≠ 0 et ≠ 0 et s'il existe tel que = , alors 8 = x 4 donc = 2 et -10 = x 5 donc = -2 .
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs. En effet : α = π et cos π = - 1 .
Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut qu'ils aient même norme, même direction et même sens.
Si deux droites parallèles coupées par une sécantes forment deux angles correspondants, alors ces angles sont de même mesure. La réciproque à cette règle est également vraie : Si deux angles correspondants de même mesure sont définis par deux droites et une sécante, alors ces deux droites sont parallèles.
On rappelle que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Si les deux droites sont parallèles à l'axe des ordonnées, alors elles sont parallèles.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et non sécantes (c'est-à-dire confondues ou n'ayant aucun point commun). Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !
Avec une égalité vectorielle
On peut montrer que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires en démontrant que \overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? On peut dire que ABCD est un parallélogramme car ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I. De plus, ABCD est un rectangle car il a un angle droit en B.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
La direction, c'est la droite du vecteur, plus particulièrement son inclinaison. On peut avoir un vecteur horizontal, vertical, ou encore en diagonale. Le sens, c'est le bout de la flèche du vecteur.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. C'est évident quand on se souvient de la formule du cosinus (si le cosinus de deux vecteurs est nul, c'est que ceux-ci sont orthogonaux).
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à –AB × AH.
On définit l'addition ou somme de deux vecteurs →u et →v, comme le vecteur dont les composantes sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs →u et →v. On note →u+v le vecteur somme. →u+→v=(ux+vx,uy+vy). On peut donner une interprétation géométrique de cette opération.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Le déterminant est l'une des techniques qui permet de savoir si deux vecteurs sont colinéaires. S'ils se sont, le déterminant est nul. Et réciproquement, si le déterminant est nul les vecteurs sont colinéaires.
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
Définitions. On apelle vecteur un segment de droite orienté noté . A est l'origine du vecteur et B son extrémité. On distingue trois types de vecteurs: vecteurs libres, glissants et liés.