On dit que f est une application affine s'il existe un point a de E et une application linéaire f de E dans F tels que, pour tout point x de E, on ait la formule : (1) f(x) = f(a) + f(−→ ax).
Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme.
Méthode 1. Une fonction f est affine si on peut déterminer deux réels m et p tels que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=m x+p. 2. Une fonction n'est pas affine lorsque le taux d'accroissement n'est pas constant.
Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. Pour A∈E A ∈ E , ⃗u∈E u → ∈ E et B=A+⃗u B = A + u → , on note ⃗u=−−→AB u → = A B → . Le point A étant fixé, l'application θA:E→E, B↦−−→AB θ A : E → E , B ↦ A B → est une bijection.
En dimension finie l'expression analytique de f (expression en fonction des coor- données dans des rep`eres cartésiens) est de la forme : Y = AX + b , et une telle expression définit une application affine. Ici A est la matrice de l'application linéaire associée et b est formé des coordonnées de l'image de l'origine.
* Si une fonction est affine, alors sa représentation graphique est une droite (qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées). * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite (qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées), alors cette fonction est affine.
Pour trouver a et b, il faut résoudre le système. Par addition membre à membre, on obtient 2b = 4, soit b = 2. a + 2 = -3, soit a = -5. f est une fonction affine dont la représentation graphique est une droite d qui passe par les points A(0 ; 6) et B(1 ; 2).
Pour construire la droite d'une fonction affine, prenons un exemple : Soit la fonction f, définie par f(x) = 2x - 3. f(x) est bien de la forme ax + b, avec a = 2 et b = -3 : c'est donc bien une fonction affine. On va chercher à tracer la droite d'équation y = 2x - 3.
La représentation graphique de la fonction est une droite de coefficient directeur et d'ordonnée à l'origine . affine . Si est strictement positif, la droite est croissante. Si est strictement négatif, la droite est décroissante.
(1) H est un hyperplan si, et seulement si, c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Une fonction affine est une fonction dont le graphique est une droite. Par conséquent, le graphique d'une fonction non affine n'est pas une droite. Un exemple de fonction non affine serait quelque chose comme 𝑦 est égal à 𝑥 au cube ou 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Soient x1 et x2 deux nombres quelconques (x1 x2). L'accroissement des images par une fonction affine, est proportionnel à l'accroissement des nombres associés.
Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible.
Si F = K on dit que f est une forme linéaire. Si F = E, f est appelée un endomorphisme.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
La droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b. Remarques : - Si le coefficient directeur est positif alors la droite « monte ». On dit que la fonction affine associée est croissante.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite : Sur l'intervalle [0 ; 2,5], on monte, on dit que la fonction est croissante. Sur l'intervalle [2,5 ; 5], on descend, on dit que la fonction est décroissante.
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière. En effet, f : x → ax peut s'écrire f : x → ax + 0 . f : x → ax + b est une fonction affine, g : x → ax est la fonction linéaire associée à f.
Une fonction affine peut être décrite par : f : R → R → + La droite correspondant à une fonction affinene passe pas par ne passe pas par ne passe pas par l'origine l'origine l'origine. ety sont reliés par la relation y = a +. C'est l'équation de la droite l'équation de la droite l'équation de la droite.
On peut calculer le coefficient directeur grâce à la formule a = y B - y A x B - x A . Ici, cela donne ... a = 8 - 5 2 - 1 - = 3 1 = 3 . On peut ensuite calculer l'ordonnée à l'origine grâce à la formule b = y B - a × x B = y A - a × x A .
On appelle fonction affine toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x + b où a et b sont des constantes. Ce nombre a est appelé coefficient de la fonction affine f. Ce nombre b est appelé ordonnée à l'origine de la fonction affine f. * Si b = 0, l'expression devient f (x) = a x .
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu'il y a situation de proportionnalité.