Propriétés. Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A−1 = tA. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
Il est dit orthonormal s'il est or- thogonal et si chaque vecteur de cet ensemble est unitaire c'est-`a-dire de longueur 1. Une base orthogonale est une base qui est aussi un ensemble orthogonal.
◦ Soit n un entier. On dit qu'une famille de points {x1,..., xn} de E est orthogonale si ⟨xi, xj⟩ = 0 pour tous i, j avec 1 ≤ i, j ≤ n et i ̸= j. Si de plus ⟨xi, xi⟩ = 1 pour tout i, on dit que cette famille est orthonormée.
Déterminant des automorphismes orthogonaux Si f ∈ O(E), alors det(f) ∈ {−1,+1} . Comme det(f) ∈ R, les automorphismes orthogonaux se répartissent en deux sous-ensembles : 1. Les rotations, de déterminant +1, qui forment le groupe spécial orthogonal SO(E), sous-groupe de O(E).
On dit qu'une matrice orthogonale est positive si son déterminant vaut 1 et qu'elle est négative s'il vaut −1. (ii) Le déterminant d'une isométrie vectorielle vaut 1 ou −1. On dit qu'une isométrie vectorielle est positive si son déterminant vaut 1 et qu'elle est négative s'il vaut −1.
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Soit →u , →v et →w trois vecteurs de l'espace et k un réel. Deux vecteurs →u et →v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si →u. →v=0.
D'après ce qui précède, un endomorphisme p est un projecteur orthogonal si et seulement si on a les deux conditions : I. p ◦p = p II. p est symétrique.
Rappeler le cours. On rappelle que deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures? Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou - 1 . Le résultat s'obtient en étudiant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant qu'elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.
Dans un espace vectoriel euclidien, une famille (e1,…,ep) ( e 1 , … , e p ) est dite orthonormale (on dit aussi orthonormée) si elle est constituée de vecteurs unitaires (de norme 1) deux à deux orthogonaux.
Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre. Une famille orthonormale est donc libre. Elle est appelée base orthonormale de E si elle est de plus génératrice de E, autrement dit si c'est une base de E.
Un repère orthonormé regroupe les propriétés des repères orthogonal et normé, c'est-à-dire les longueurs O I OI OI et O J OJ OJ sont égales et les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires en O.
Espace quotient
C'est de plus une norme si et seulement si F est fermé pour la semi-norme ║∙║E. Le quotient est alors un espace préhilbertien. Si F est non seulement fermé mais complet, il possède un supplémentaire orthogonal dans E.
La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type « moindres carrés ».
On calcule la matrice produit C = A B . Chacun des éléments de la matrice est le produit scalaire du vecteur associé à l'une des lignes de la matrice et du vecteur associé à l'une des colonnes de la matrice . Plus précisément c i , j est le produit scalaire du vecteur a i → et du vecteur b j → .
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
Deux droites tracées dans un repère du plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
Si F = E, f est appelée un endomorphisme. Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
RECONNAÎTRE UNE MATRICE DE PROJECTION. — La matrice carrée M représente une projection si, et seulement si, M2 = M. l Si S est une base orthonormée d'un espace euclidien E, la projection p est une projection orthogonale si, et seulement si, la matrice M = MatS(p) est une matrice symétrique.
Une projection orthogonale est une projection dans laquelle tous les rayons visuels partant des sommets de l'objet se dirigent perpendiculairement vers un observateur placé devant la feuille. Cette catégorie de projection comprend la projection à vues multiples et la projection isométrique.
On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : A et B sont orthogonales si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈A x ∈ A et tout y∈B y ∈ B . Pour X⊂E X ⊂ E , X⊥ est alors la plus grande partie de E orthogonale à X .
Les vecteurs sont parallèles si ⃑ 𝐴 = 𝑘 ⃑ 𝐵 , où 𝑘 est une constante réelle non nulle. Les vecteurs sont orthogonaux si ⃑ 𝐴 ⋅ ⃑ 𝐵 = 0 .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.