On dit qu'une suite tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux (c. -à-d. contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang).
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Si une suite admet pour limite le nombre réel I on dit qu'elle est convergente vers I (ou qu'elle converge vers I ou qu'elle tend vers I). On note : ou lim u = I. La limite d'une suite est unique. Les suites , où k est un entier positif non nul, convergent vers 0.
On effectue souvent des limites quand x tend vers l'infini, c'est à dire qu'on prend x le plus grand possible et l'on cherche la valeur qu'atteint f(x). Lorsque la limite en a est un nombre l réel, on dit que la limite est finie. A l'inverse si la limite en a de f est +∞ ou -∞ alors f n'admet pas de limite finie.
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.
On dit qu'une suite est divergente et tend vers +∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont supérieurs à A. On dit qu'une suite est divergente et tend vers –∞ si, pour tout nombre réel A, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont inférieurs à A.
Définition : Si est une suite convergente, l'unique réel , tel que converge vers , s'appelle la limite de la suite et se note lim n → + ∞ u n . On notera désormais l = lim n → + ∞ u n et on dira que la suite est convergente et a pour limite , plutôt que la suite converge vers .
Définition : Limite d'une fonction
Si 𝑓 ( 𝑥 ) tend vers une certaine valeur ℓ lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement quand 𝑥 = 𝑎 , alors on dit la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à ℓ et on note l i m → 𝑓 ( 𝑥 ) = ℓ .
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
VII Convergence d'une suite vers zéro. Exemple : soit la suite U=(un)n>0 définie par la relation suivante : un = 1/n. Pour avoir, la valeur absolue de la suite U, |un| < 1/10 , il suffit que n ≥ 10. Pour avoir |un| < 10−4 , il suffit que n ≥ 10000.
Aucune difficulté pour connaître la limite d'une suite arithmétique : −∞ si la raison est strictement négative, +∞ si elle est strictement positive. La suite est constante si la raison est nulle (seul cas où une suite arithmétique converge).
Définition : Limite à l'infini
Si les valeurs de 𝑓 ( 𝑥 ) s'approchent d'une valeur finie 𝐿 lorsque la valeur de 𝑥 tend vers l'infini, alors on dit que la limite de 𝑓 ( 𝑥 ) lorsque 𝑥 se rapproche de l'infini positif existe et est égale à 𝐿 et on note l i m → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 .
Conclure. Si le quotient est supérieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est croissante. Si le quotient est inférieur ou égal à 1 pour tout n, la suite est décroissante. Si la position du quotient par rapport à 1 varie en fonction de la valeur de n, la suite n'est pas monotone.
Définition 1.1.2
Soit (un) une suite. On dit que : a) la suite (un) est croissante si pour tout n ∈ : un ⩽ un+1 ; b) la suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ : un ⩾ un+1 ; c) la suite (un) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un) est constante si pour tout n ∈ : un+1 = un.
Il est clair que / admet une limite en a si et seulement si / admet une limite à gauche et à droite en a et / (a) = /- (a) (et alors lim xªa /(x) est égale à cette valeur commune).
De la même manière que pour une suite, on peut définir la limite d'une fonction en l'infini. On dit que f tend vers l en +∞ si, pour x assez grand, f(x) est aussi proche de l que l'on veut.
C'est une forme indéterminée comme "infini/infini" ou "infini - infini" ou "0/0" ou encore "1^(infini)".
Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite. On commence par démontrer que les hypothèses entrainent que, pour tout n∈N n ∈ N , on a un≤vn u n ≤ v n . Pour cela, on remarque que la suite (vn−un) ( v n − u n ) est décroissante et tend vers 0 0 .
Rappel : Dire qu'une suite (Un) est croissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un. Dire qu'une suite (Un) est décroissante signifie que pour tout entier n, Un+1 Un.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
1. Sans limites dans le temps ou l'espace : La suite infinie des nombres. 2. Qui est d'une grandeur, d'une intensité si grande qu'on ne peut le mesurer : Il est resté absent un temps infini.
En 0, sa limite à gauche vaut –∞ et à droite, +∞.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Le symbole de l'infini, en mathématiques et au-delà des mathématiques, est « ∞ », inventé par le mathématicien John Wallis au XVII e siècle, signe dont l'origine est controversée et dont la forme peut évoquer un « 8 » horizontal (mais ce n'est pas en référence au chiffre 8 que ce signe fut choisi) ; cette forme a été ...