Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents.
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
le produit vectoriel de deux vecteurs est nul si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires.
Si le vecteur-somme est nul, les vecteurs sont alignées et de sens opposés.
Le vecteur nul a pour coordonnées 0 → ( 0 ; 0 ) \overrightarrow{0}(0\ ;0) 0 (0 ;0).
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Définition : Deux vecteurs non nuls Y⃗ et ⃗ sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est à dire qu'il existe un nombre réel k tel que Y⃗ = k ⃗.
On définit l'addition ou somme de deux vecteurs →u et →v, comme le vecteur dont les composantes sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs →u et →v. On note →u+v le vecteur somme. →u+→v=(ux+vx,uy+vy). On peut donner une interprétation géométrique de cette opération.
Pour calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs, on additionne les coordonnées de chacun des vecteurs. Pour calculer les coordonnées de la différence de deux vecteurs, on soustrait les coordonnées de chacun des vecteurs.
Quel que soit le vecteur →u, on a 0×→u=→0, donc le vecteur nul →0 est colinéaire à tous les vecteurs. Propriété : Deux vecteurs →u(xy) et →v(x'y') sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles, c'est à dire si et seulement si xy' = x'y.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
On dit que 2 vecteurs et sont colinéaires lorsqu'il existe un réel tel que . Pour k = 0, , le vecteur nul est donc colinéaire à tout autre vecteur.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
Si nous avons deux vecteurs u → = ( u x u y u z ) et v → = ( v x v y v z ) , la formule du produit vectoriel est donnée par u → ∧ v → = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 ) Pour te rappeler de cette formule tu peux également considérer le produit vectoriel comme étant le déterminant de la matrice ...
Soit deux vecteurs →u et →v; le nombre réel résultant de l'opération notée →u⋅→v et telle que →u⋅→v=‖→u‖⋅‖→v‖cosθ, où ‖→u‖ désigne la norme du vecteur u, ‖→v‖ désigne la norme du vecteurv et θ est la mesure de l'angle formé entre les directions des deux vecteurs.
On rappelle que pour additionner ou soustraire deux vecteurs en deux dimensions, nous additionnons ou soustrayons les composantes correspondantes des vecteurs. En utilisant les vecteurs calculés précédemment, nous avons − 4 ⃑ 𝐵 + 2 ⃑ 𝐶 = ( 3 6 , 1 2 ) + ( − 8 , − 4 ) = ( 3 6 + ( − 8 ) , 1 2 + ( − 4 ) ) = ( 2 8 , 8 ) .
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Pour additionner ces trois vecteurs, on peut d'abord ajouter les deux vecteurs 𝐔 et 𝐕, puis ajouter 𝐖. Comme nous pouvons le voir sur notre graphique, 𝐔 plus 𝐕 n'est qu'un autre vecteur unique, donc 𝐔 plus 𝐕 entre parenthèses plus 𝐖 n'est qu'une somme de ce nouveau vecteur 𝐔 plus 𝐕 avec le troisième vecteur 𝐖.
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).