Pour le démontrer en utilisant les propriétés de la fonction sinus répertoriées dans cet article, on peut remarquer que la fonction sinus est périodique de période 2π, et que sur l'intervalle [0,2π[ elle s'annule qu'en 0 et en π.
Trigonométrie Exemples
La valeur exacte de sin(0) est 0 .
Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite en l'infini.
Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π .
La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O. La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que pour tout x de : sin(x) = – sin(x).
Propriété : Pour tout réel x : cos(−x) = cosx, la fonction cosinus est paire ; sin(−x) = −sinx, la fonction sinus est impaire ; cos(x + 2π) = cosx et sin(x + 2π) = sinx, les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
Remarque Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
La règle d'une fonction sinus est f(x)=asin(b(x−h))+k. f ( x ) = a sin ( b ( x − h ) ) + k .
La valeur exacte de sin(90°) sin ( 90 ° ) est 1 .
Une fonction sinusoïdale de temps est une fonction de la forme : y = a sin (ωt + ϕ) où a, ω et ϕ sont des constantes. On appelle période T, l'intervalle de temps constant qui sépare deux passages successifs du mobile animé d'un mouvement d'oscillations, en un même point et dirigeant dans le même sens.
Pas de limite pour sinx quand x tend vers +00. S'il s'agit de la fonction f:x↦sinx, de R dans R, il suffit de noter que l'image de tout intervalle [A,+∞[ par cette fonction est [−1,1] et ceci suffit à prouver que cette fonction n'a pas de limite finie en +∞.
Par exemple, le cosinus est le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse.
Trigonométrie Exemples
La valeur exacte de sin(30) est 12 . Le résultat peut être affiché en différentes formes.
75 degrés est simplement 75. Et puis quatre divisé par 60 égale 0,06666. Et 12 divisé par 3600 égale 0,00333. Donc, en ajoutant ces chiffres entre parenthèses, on obtient sinus 75.06999.
Calcul de sin(60 o). On tape 60 sin = ou sin 60 = suivant le modèle de calculatrice. Il s'affiche 0,86602540. Attention ce n'est qu'une valeur approchée de sin(60 o).
Calcul du sinus
Le résultat est : sin 50° = 0,766 (au millième près). Remarque : la démarche est la même pour calculer un cosinus ou une tangente.
Deux d'entre eux, à la tournure très latine, sinus et cosinus, nous réservent une petite surprise… Le mot sinus est un mot latin signifiant courbe, pli, cavité. Il a donné en français les mots sein et sinueux.
La formule du cosinus d'un angle s'applique dans un triangle rectangle. Elle correspond au rapport entre la longueur du côté adjacent à l'angle (longueur collée à l'angle) et la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté du triangle rectangle).
tan = COCA = Côté Opposé / Côté Adjacent ; CAH - SOH - TOA ("Casse-toi !") : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse ; Sinus = Opposé sur Hypoténuse ; Tangente = Opposé sur Adjacent.
Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors on a : Remarque : l'hypoténuse étant le plus grand côté dans un triangle rectangle, le rapport est toujours plus petit que 1. Le cosinus d'un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
Sin = Opposé / Hypoténuse (S.O.H.) Cos = Adjacent / Hypoténuse (C.A.H.)
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et, pour tout réel x, on a sin'(x) = cos(x) et cos'(x) = –sin(x).
cos 12° 0,978 ; cos 20° 0,94 ; cos 45° 0,707 ; cos 60° = 0,5 cos 90° = 0 ; cos 0° = 1.