La loi de Bernoulli permet de démontrer plusieurs résultats concernant les lois binomiales. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p. L'espérance mathématique de X est E(X)=p. La variance de X est V(X)=p(1−p).
Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes, alors la probabilité d'obtenir k succès est : La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès est appelée la loi binomiale de paramètres n et p.
En résumé, pour justifier que X suit une loi binomiale, il suffit de dire que : on répète des épreuves identiques et indépendantes. chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec). X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
Pour vérifier qu'une expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli, suffit que l'expérience débouche sur deux issues exactement, l'une considéré comme un succès et l'autre comme un échec.
Pour tout entier n, la loi binomiale négative est la distribution de succès et d'échecs dans une série d'épreuves de Bernoulli iid. Pour k + n épreuves de Bernoulli, avec probabilité de succès p, la loi binomiale négative donne la probabilité de k échecs et n succès, le dernier tirage étant un succès.
De façon générale, la loi géométrique apparaît lorsque l'on répète une même expérience, de façon indépendante, et que l'on attend qu'un événement se réalise le nombre de fois où un événement se réalise. Précisément, on considère le numéro de l'expérience à laquelle survient le premier succès.
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues que l'on peut nommer "succès" et "échec". On répète cette expérience 20 fois, la probabilité du succès est égale à 0,5. On dit ici que n = 20 et p = 0,5 sont les paramètres du schéma de Bernoulli.
B
Une variable aléatoire X est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu'elle est à valeurs dans {0;1} où la valeur 1 est attribuée au succès. On dit alors que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Autrement dit, on a P(X=1)=p et P(X=0)=1−p. On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant.
Une loi est uniforme entre une valeur a et une valeur b lorsque la densité de probabilité est toujours égale sur cet intervalle et nulle en-dehors.
La loi t ou loi de Student est utilisée dans de nombreux tests statistiques d'estimation de moyenne ou de régression linéaire. Une variable T de Student est le ratio d'une Normale standard et de la racine d'une Khi-carrée normalisée. La loi t non centrale est basée sur une Normale réduite non centrée.
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d'environ 53 %. Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. Dans un lycée, la probabilité qu'un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
Si la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, on accepte l'hypothèse selon laquelle le caractère A apparait avec une fréquence p dans le groupe. Si n'appartient pas à l'intervalle, on rejette l'hypothèse. Il faut noter que l'une ou l'autre de ces 2 conclusions possibles se font au risque ou seuil 5%.
La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile.
La loi de Poisson est aussi appelé la LOI des évenements rares. La loi de Poisson se définit par une formule assez compliquée. E[X] = λ σ (X) = √ λ. C'est la seule LOI connue qui ait toujours son espérance égale à sa variance.
Pour éviter que les avions décollent ainsi avec des places vides les compagnies aériennes ont décidé de vendre plus de billet qu'il n'y a de place dans leurs avions : c'est ce qu'on appelle la surréservation et ont eu l'idée d'utiliser la loi binomiale pour quantifier le risque pris d'avoir des passagers sans siège qu' ...
Le principe de Bernoulli est utilisé dans le fonctionnement de l'aile d'un avion. C'est la différence de profil entre le dessus et le dessous de l'aile qui influence la vitesse de l'air créant ainsi une différence de pression qui permettra la d'améliorer la portance de l'avion1.
3. L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p sont obtenues grâce aux formules E(X)=np et V(X)=np(1−p).
Pour que la table binomiale soit applicable, il est important que chaque essai soit binaire (succès ou échec), ce qui implique que le nombre total de succès soit un nombre entier. On ne peut pas demander quelle est la probabilité d'obtenir 14,5 succès sur 20 essais.
Bernoulli invente (découvre) la loi binomiale, souvent notée B(n,p) : il y a Cnk façons (nombre de combinaisons de k objets parmi n.)
On estime qu'à un concours, un candidat a 20% de chance de réussir.
Pour cela, il faut utiliser la fonction Bpd (Binomial Probability Distribution), qui correspond à la touche q {Bpd}. On entre alors les informations dans l'ordre : variable, nombre de succès, nombre de répétitions, probabilité du succès, List1. On valide avec la touche l.
Les lois de probabilités sont des objets mathématiques qui permettent aux statisticiens de fabriquer des modéles pour décrire des phénomènes où le hasard intervient. Une loi de probabilité est une distribution théorique de fréquences.
L'espérance d'une variable aléatoire E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. C'est un paramètre de position qui correspond au moment d'ordre 1 de la variable aléatoire X. C'est l'équivalent de la moyenne arithmétique ˉX.
A chaque événement élémentaire de notre expérience aléatoire, on va associer un réel représentant le gain "algébrique". Quand on parle de gain algébrique, cela signifie que celui-ci peut être négatif, représentant alors une perte. C'est ainsi que la perte de 1 euros sera représentée par le gain algébrique : - 1euro !