Le plus grand commun diviseur de 18 et 24 est 6. L'algorithme d'Euclide permet de calculer le plus grand commun diviseur de deux entiers naturels donnés.
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et leurs opposés.
Ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs de 30 et 18 étant 1, 2, 3 et 6, leur PGCD est 6. Ce qui se note : PGCD(30, 18) = 6. Les diviseurs communs à plusieurs entiers sont les diviseurs de leur PGCD.
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
´ Les diviseurs communs à 12 et 18 sont : 1, 2, 3, 6. ´ 1 est le seul diviseur commun à 45 et 28. ´ PGCD(45; 28) = 1. Définition On dit que deux nombres entiers (non nuls) a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
12 12 a des facteurs de 2 2 et 6 6 . 6 6 a des facteurs de 2 2 et 3 3 . Le plus petit multiple commun de 12,18,24 12 , 18 , 24 est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu'ils apparaissent dans un nombre ou l'autre. Multipliez 2⋅2⋅2⋅3⋅3 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 .
- Affirmation B: le PGCD de 18 et de 36 est 9.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.
Trouver les diviseurs d'un nombre
La technique pour trouver des diviseurs repose sur une propriété mathématique: Si la division de A par B est égale à C, alors B et C sont des diviseurs de A (A, B et C sont des nombres entiers). La division de 28 par 7 est égale à 4, donc 7 et 4 sont des diviseurs de 28.
On écrit tous les diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. Les nombres 12 et 20 ont donc trois diviseurs communs : 1 ; 2 et 4.
2 et 3 sont des diviseurs communs à 42 et à 18. Le PGCD de 42 et 18 est 6.
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Par exemple, 6 est le plus grand diviseur commun de 24 et 42, parce que 6 divise 24 (24/6 = 4, reste 0), 6 divise 42 (42/6 = 7, reste 0), et aucun nombre plus gran que 6 ne divise a la fois 24 et 42: 7 divise 42 mais pas 24, 8 divise 24 mais pas 42, 9 ne divise aucun des deux, ...
Par exemple, le PGCD de 16 et 24 est 8, car il s'agit du plus grand diviseur commun entre 16 et 24. Ces nombres ont aussi d'autres diviseurs communs, soit 2 et 4, mais il ne s'agit pas de leur plus grand diviseur commun.
Les diviseurs communs à deux nombres
Soient a, b et d trois entiers. Le nombre d est un diviseur commun à a et à b s'il est un diviseur de a et de b. On recherche les diviseurs communs à 12 et 30. Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6.
Réponse : Les dix premiers multiples de 24 sont : 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216 et 240.
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres dont on cherche le PPCM par des diviseurs premiers. Le PPCM sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Attention, la méthode est légèrement différente de celle présentée pour le PGCD.
Diviseur. Soit deux nombres a et b. Si l'on divise a par b, a est appelé le dividende et b, le diviseur. Par exemple, dans la division 56,7 ÷ 5,4 = 10,5, le diviseur est 5,4.
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42,… sont tous des multiples de trois. 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, etc.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
Les facteurs communs pour 36,48 sont 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 . Le plus grand facteur commun des facteurs numériques 1,2,3,4,6,12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 est 12 .
Pour trouver les diviseurs communs à 15 et 20, il suffit de trouver les diviseurs du PGCD(15;20). Donc les diviseurs communs à 15 et 20 sont -5;-1;1;5.
Donc le PGCD (60 ; 84) = 12.
c) 12 est le plus grand diviseur commun à 72 et 84.