Il existe des nombres irrationnels non terminaux et non répétitifs, dont le plus notable est pi. Deux exemples sont pi (3,14159…) et la racine carrée de 2 (1,4142135…). Quel que soit le nombre de chiffres que l'on calcule, aucun d'eux ne se termine ou ne se répète.
Les nombres irrationnels (Q')
Les nombres irrationnels, représentés par Q′ ,sont les nombres dont le développement décimal est infiniet non périodique. Ces nombres ne peuvent pas s'exprimer comme le quotient de deux entiers.
Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel s'appelle un irréel. π et sont des irréels.
Salut, 0=0/1 c'est donc un rationnel.
Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Nombre rationnel
3,14 ; 5 ; -3,2 et -7 sont des nombres rationnels. Le nombre \pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.
Un nombre entier peut toujours s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est 1. Tous les nombres entiers sont donc des nombres rationnels.
Le nombre pi est un nombre transcendant, c'est pourquoi la quadrature du cercle, telle qu'on l'entendait lorsque le problème a été posé, est une entreprise chimérique. Il est impossible de tracer avec la règle et le compas, en partant du rayon d'un cercle, un rectangle d'aire égale à celle du cercle.
Le nombre π est irrationnel, c'est-à-dire qu'on ne peut pas l'exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n'est ni finie, ni périodique.
Les nombres rationnels peuvent être représentés comme un quotient de deux nombres entiers. Ils sont exprimés sous la forme d'une fraction a / b, où a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.
Par définition, les nombres universels contiennent toutes les suites finies possibles de chiffres comme sous-suite de chiffres consécutifs. Ces nombres sont universels dans un autre sens : ils contiennent tous les nombres réels compris entre 0 et 1, quel que soit leur développement décimal infini.
Pi est un nombre irrationnel (c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique). Les premières sont : 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction simple. Ils ne peuvent pas être énoncés sous la forme d'un rapport comme p/q, où p et q sont tous deux des entiers, et q ≠ 0.
Toute racine carrée d'un entier est irrationnelle, à moins d'être elle-même un entier. Ainsi, √4 = 2 et √9 = 3, nombres rationnels tous les deux; mais √5, √6, √7, √8, qui ne peuvent pas être entiers, puisqu'ils doivent être situés entre 2 et 3, sont forcément irrationnels.
Au XVIe siècle, en Europe, le mathématicien belge Simon Stevin (1548 ; 1620) veut faire intégrer les nombres irrationnels parmi les nombres et s'oppose à l'utilisation d'inexprimable ou d'irrationnel.
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
Le nombre de décimales de Pi est infini : après 3,14, il y a un nombre infini de chiffres. Infini on vous dit : on ne peut pas en voir la fin car Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le résultat du rapport entre deux entiers (on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction).
C'est Archimède, un mathématicien grec vivant à Syracuse, qui le premier démontre vers 250 avant J. -C. les formules du cercle et que c'est bien la même constante Pi qui intervient dans le calcul de la circonférence et celui de la surface.
Il existe un moyen mnémotechnique pour se souvenir des premières décimales avec ce vers, le nombre de lettres dans chaque mot donnant le chiffre correspondant : Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimède, artiste ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Référence(s) : Johann Heinrich Lambert (1728-1777).
L'ensemble ℕ vient de l'appellation naturale attribuée à Peano. Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.
Un nombre complexe α est dit transcendant si pour tout polynôme non nul P à coefficients entiers, P(α) ≠ 0. Il en est alors de même pour tout polynôme non nul à coefficients rationnels. Plus généralement, la théorie traite de l'indépendance algébrique des nombres.
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal. Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.