1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. Algorithme d'Euclide 210 = 135 x 1 + 75 135 = 75 x 1 + 60 75 = 60 x 1 + 15 60 = 15 x 4 + 0 Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
En effet : 132 = 1 x 132 = 2 x 66 = 3 x 44 = 4 x 33 = 6x 22 = 11 x 12. Les diviseurs communs (présents dans les deux listes) sont : 1 ; 2; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Le plus grand diviseur commun est donc : 12. Remarque : les diviseurs communs sont les diviseurs du pgcd.
Prenons un exemple avec 108 et 60.
Les diviseurs communs de 60 et de 108 sont donc 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ainsi, on a PGCD(108;60) = 12.
Il s'agissait de considérer l'ensemble E des diviseurs de 210 (16 éléments) : l, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.
1 – 350 = 1 x 350 = 2 x 175 = 5 x 70 = 7 x 50 = 10 x 35 = 14 x 25 La liste des diviseurs de 350 est : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 25, 35, 50, 70, 175 et 350.
Ce nombre doit être maximal donc c'est PGCD(135;108) 27 = Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
Présentation. Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36. 1er cours offert !
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24. Définition : Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51. Remarque: Pour les grands nombres (supérieurs à 100 par exemple), l'algorithme d'Euclide est la méthode la plus rapide en général.
Le plus grand diviseur commun à 125 et 175 est 25.
Un tel entier existe bien, et il en existe un seul vérifiant ces trois propriétés qui est le PGCD au sens de la définition précédente quand (a,b) ≠ (0,0). Avec cette définition PGCD(0,0)=0.
Exemple Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 . Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ;12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72. Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .
Diviseurs de 90 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 15 ; 18 ; 30 ; 45 ; 90 (idem). Qu'est-ce que c'est ? Soient a et b deux entiers positifs. Le PGCD de a et b, noté pgcd(a; b), est le plus grand diviseur commun à a et à b (il divise a et b à la fois.)
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux. Une fraction est irréductible, si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.
18 n'est pas une fraction irréductible car 12 et 18 ne sont pas des nombres premiers entre eux. On peut donc la simplifier : ´ PGCD(12; 18) = 6.
PGCD (84 ; 270) = 6.
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
N°45 page 16 a) 112 = 14×8 donc 112 est divisible par 8.
Concernant 260, la réponse est : Non, 260 n'est pas un nombre premier. La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 260) est la suivante : 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260.
56 est multiple de 7. 56 est multiple de 8. 56 est multiple de 14. 56 est multiple de 28.