Exemples. Trouver le PGCD de 28 et 42 : 1. Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres.
18 n'est pas une fraction irréductible car 12 et 18 ne sont pas des nombres premiers entre eux. On peut donc la simplifier : ´ PGCD(12; 18) = 6.
On effectue la division euclidienne du plus grand par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD est alors le dernier reste non nul.
Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
Une fois que l'on a la liste des diviseurs de chaque nombre, on ne garde que ceux qui apparaissent dans les deux listes (c'est-à-dire les diviseurs COMMUNS). Il suffit ensuite de prendre le plus grand : c'est le PGCD. Le plus grand est 8, donc le pgcd de 16 et 24 est 8 !
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
Donc les diviseurs communs à 24 et 42 sont 1, 2, 3 et 6.
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Exemple : • Les diviseurs de 42 sont : 1,2,3,6,7,14,21,42. Les diviseurs de 51 sont : 1,3,17,51. Les diviseurs communs de 42 et 51 sont 1 et 3, donc 42 et 51 ne sont pas premiers entre eux.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
Les diviseurs communs à 210 et 350 sont : 1, 2, 5, 7, 35 et 70. d. Le PGCD de 210 et 350 est 70.
Les diviseurs communs a et b sont les diviseurs du PGCD(a;b). Pour trouver les diviseurs communs à 15 et 20, il suffit de trouver les diviseurs du PGCD(15;20). Donc les diviseurs communs à 15 et 20 sont -5;-1;1;5.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
Si deux nombres entiers n'ont aucun diviseur commun autre que 1, alors leur pgcd est égal à 1 ; on dit que ces nombres sont premiers entre eux. Quand on divise deux nombres entiers par leur pgcd, on obtient deux nombres premiers entre eux.
4) Par conséquent, le PGCD de 168 et 86 est 2.
Par exemple, les diviseurs communs à 36, 48 et 60 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12 donc PGCD(36, 48, 60) = 12.
PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
PGCD (84 ; 270) = 6.
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Pour calculer le triple d'un nombre, il faut le multiplier par 3. Le triple de 4 est : 4 × 3 = 12.
Chaque réponse est un diviseur du nombre. 28 est dans la table de multiplication de 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Les diviseurs de 28 sont donc 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
42 est multiple de 2. 42 est multiple de 3. 42 est multiple de 6. 42 est multiple de 7.
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
Le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux nombres (ceux en rouge) donc 2 x 2 x 3 = 12. Le PPCM est le produit du PGCD par le reste des facteurs non communs (en noir) donc 12 x 3 x 7 = 252.
Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 7. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont 1 ; 2 ; 3 et 15. Déterminer les diviseurs communs à 20 et 82. Les diviseurs communs à 20 et 82 sont 1 et 2.