84 = 2 ×3×7 4. 84= 1 × 84 = 2 × 42 = 4 × 21 = 6 × 14 = 7 × 12 Les diviseurs de 84 sont 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 42 ; 84 5. 14 est le PGCD de 112 et de 84.
En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10.
1) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210. Algorithme d'Euclide 210 = 135 x 1 + 75 135 = 75 x 1 + 60 75 = 60 x 1 + 15 60 = 15 x 4 + 0 Le dernier reste non nul est 15, donc PGCD (135 ; 210) = 15.
2) 756 441 n'est donc pas irréductible. On calcule le PGCD de 756 et 441 (ce sera un multiple de 3) ; il s'agit de 63.
561÷357 (à la calculatrice touche ÷R) on obtient 1 en quotient et 204 en reste. Après, on continue : On divise le plus petit des deux nombres de la division précédente par le reste de cette division. --> Le dernier reste non nul est 51 donc PGCD (357 ; 561) = 51.
Quel est le plus grand diviseur commun de 52, 84, 108 et 140 ? 13.
Cette méthode découle du principe suivant: si un nombre est un diviseur commun à 2 entiers alors il divise leur différence. Appliqué au PGCD de 2 entiers a et b (qui est un diviseur commun à a et b) cela donne, le PGCD (a , b) divise a - b !
Rappel sur le PGCD
On a vu en classe de 3ème que le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b. Par exemple, le PGCD de 15 et 10 est 5. Pour déterminer le PGCD de deux nombres, on peut faire une liste des diviseurs de a puis de b et déterminer le plus grand diviseur commun.
PPCM (84 ; 270) = 3 780.
3) Quel est le plus grand diviseur commun (appelé PGCD) de 84 et 270 ?
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux. Exemple : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
84 est multiple de 4. 84 est multiple de 6. 84 est multiple de 7.
72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.
60 = 24 × 2 + 12 et 24 = 2 × 12, donc 12 est le pgcd de 60 et 24.
Le plus grand diviseur commun à 125 et 175 est 25.
6 est le PGCD de 18 et 24.
Le plus grand de ces diviseurs est 18. On note : PGCD(72, 54) = 18.
Le plus grand d'entre eux est 12. On l'appelle donc le plus grand commun diviseur(P.G.C.D) de 24 et 36.
La liste de ses diviseurs entiers (c'est-à-dire la liste des nombres entiers qui divisent 276) est la suivante : 1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276. Pour que 276 soit un nombre premier, il aurait fallu que 276 ne soit divisible que par lui-même et par 1.
2/ PGCD (156; 130) = 26. Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les diviseurs du plus grand commun diviseur (PGCD).
Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27.
D'après la première partie, 18 est le plus grand commun diviseur de 90 et 126 donc elle pourra réaliser au maximum 18 bouquets.
162 = 2 × 81 = 2 × 9 × 9=2 × 32 × 32 = 2 × 34. 108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 22 × 33. 2. Les diviseurs communs à 162 et 108 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 et 54.
Le plus petit commun multiple (PPCM) est également connu sous le nom de plus petit diviseur commun. Le PPCM est le plus petit entier positif qui est également divisible par a et b pour deux entiers, abrégé PPCM (a,b). PPCM(2,3), par exemple, est égal à 6 et PPCM(6,10), est égal à 30.
Les diviseurs communs à 48 et 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 24 . Le PGCD de 48 et 72 est donc : 24 .