Inverse d'un nombre complexe non nul L'inverse de z ≠ 0 est le nombre z' tel que zz' = 1, noté . Si z = a + ib avec a ≠ 0 et b ≠ 0 et z' = x + iy ; alors zz' = 1 ⇔ (ax - by) + i(ay + bx) = 1 ; (ax - by) + i(ay + bx) = 1 ⇔ .
l'opposé d'un nombre complexe a + bi est le complexe –(a + bi) = (–a) + (–b)i.
Le carré de (−i) est aussi égal à −1 : (−i)2 = −1. Tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme x + i y où x et y sont des nombres réels. Représentation graphique du complexe x + i y = r eiφ à l'aide d'un vecteur.
Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit donc de changer le signe de ce dernier. Par exemple l'opposé du nombre 3 est égal à -3. Inversement, l'opposé de -3 est égal à 3.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ∈I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I. , on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y).
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ⇔ a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.
La notion d' « inverse » est relativement simple. L'inverse d'un nombre s'obtient en mettant ce nombre sur 1, en faisant donc "1 ÷ (nombre)". L'inverse d'une fraction est également une fraction. Il suffit « d'intervertir » le numérateur et le dénominateur, de la renverser en somme X Source de recherche !
des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement. des rationnels, l'inverse de 2 est 1⁄ 2 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25.
Exemples. L'élément opposé de 8 est –8, car : 8 + (–8) = 0. L'élément opposé de –6,5 est 6,5, car : 6,5 + (–6,5) = 0.
cos(π), on est bien de l'autre coté, π c'est cet angle ici, donc le cosinus vaut -1. sinus de π, sin(π) ça vaut 0, donc ça fait bien -1 ! Et donc on a montré que i^2 est égal à -1.
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est . Racines de carrés parfaits : √0 = 0 √25 = 5 √100 = 10 √1 = 1 √36 = 6 √121 = 11 √4 = 2 √49 = 7 √144 = 12 √9 = 3 √64 = 8 √169 = 13 √16 = 4 √81 = 9 Remarque : √−5 = ?
Remarques : • 0 n'a pas d'inverse • deux nombres inverses sont soit tous les deux positifs, soit tous les deux négatifs.
la notion de conjugué d'un nombre complexe. les formules donnant les solutions complexes d'une équation du second degré à coefficients réels : Si Δ>0 , deux solutions réelles distinctes : z1=−b−√Δ2a z 1 = − b − Δ 2 a et z2=−b+√Δ2a z 2 = − b + Δ 2 a . Si Δ=0 , une solution : z0=−b2a z 0 = − b 2 a .
Carl Friedrich Gauss popularise la représentation des complexes par des points et leur donne le nom de nombre complexe (1831).
En effet, 1000 × 0,001 = 1. 1 2 car 1 2 × 2 = 1 et 1000 est l'inverse de 0,001.
Inverse d'un nombre
Ainsi, l'inverse de 100 est 0,01.
Exemples. L'inverse de 2 est 12 parce que 2×12=1.
Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal. 6. L'inverse d'un nombre décimal peut être un nombre entier.
L'inverse de +1 est −1.
L'opposé d'un nombre
Si x positif, son opposé est négatif et si x négatif, son opposé est positif.
Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r = |z| et θ = arg (z) [2π] Cette forme est appelée forme trigonométrique du complexe z.
Soit z=a+bi z = a + b i un nombre complexe. Sa forme polaire est rcis(θ) , où r=|z|=√a2+b2 r = | z | = a 2 + b 2 et 0≤θ<2π 0 ≤ θ < 2 π .
Forme exponentielle des nombres complexes
C'est pour cette raison que l'on introduit la notation suivante : eiθ=cosθ+isinθ. Il ne faut pas ici s'effrayer face à l'exponentielle : il ne s'agit que d'une notation. Historiquement, cette dernière égalité est en fait plutôt connue comme la formule d'Euler.