La réciproque du théorème Pythagore dit que « si un triangle est rectangle, alors le carré de la plus grande longueur (l'hypoténuse) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». La réciproque de Pythagore permet donc de montrer si un triangle est rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC, on a BC^2=AB^2+AC^2, alors le triangle ABC est rectangle en A. D'une part, BC^2=5^2=25. D'autre part, AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25.
v Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Soit le triangle ABC rectangle en A ci-contre. D'après le théorème de Pythagore, on a : BC2 = AB2 + AC2.
L'hypothèse du théorème de Pythagore appliqué à ce triangle est : le triangle ABC est rectangle en A. Sa conclusion est : BC2 = AB2 + AC2. En échangeant la conclusion et l'hypothèse, on obtient le théorème réciproque : si BC2 = AB2 + AC2, alors le triangle ABC est rectangle en A.
La relation de Pythagore met en relation les trois côtés du triangle rectangle de la manière suivante : La somme des carrés des mesures des cathètes est égal au carré de la mesure de l'hypoténuse.
À son retour, en l'honneur de cette annonce divine, Mnesarchus change le nom de sa femme en Pythais et baptise son fils Pythagoras, qui signifie littéralement "annoncé par la Pythie''.
Le théorème de Pythagore établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, tandis que sa réciproque permet de déterminer si un triangle est rectangle en vérifiant cette relation.
b) Réciproque de Thalès.
Comme le théorème de Thalès est ainsi structuré : « Si des droites sont parallèles, alors des quotients de longueurs de segment sont égaux ». Sa réciproque ne peut être que de la forme : « Si des quotients de longueurs de segment sont égaux, alors des droites sont parallèles. »
Si les points O, A, F, d'autre part, et O, B, G, d'autre part, sont alignés et dans le même ordre OA/OF = OB/OG. Alors les droites (AB) et (FG) sont parallèles.
Le côté le plus long est [BC] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l'hypoténuse. D'une part, on a BC² = 20² = 400. D'autre part, on a AC²+AB² = 16² +12² = 256+144 = 400.
► La conséquence (contraposée) du théorème de Pythagore
Si le carré de la longueur du côté le plus grand d'un triangle n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle n'est pas rectangle.
Il réalise ainsi que plusieurs outils en menuiserie, en architecture ou en dessin technique existent grâce à ce théorème et que les bâtisseurs de cathédrales l'utilisaient. Ensuite, l'élève est appelé à démontrer que Pythagore se retrouve facilement dans son milieu (école, maison, escalier, etc.).
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple 1 : Soit le triangle ABC rectangle en A ([BC] est donc l'hypoténuse), alors BC²=AC²+BA².
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle A B C ABC ABC rectangle en A A A. Dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
1) Énoncer le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. 2) Ces deux théorèmes célèbres étaient déjà connus avant eux.
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
Selon la légende, Thalès aurait découvert ce théorème en calculant la hauteur d'une pyramide. Pour se faire, le mathématicien calcule l'ombre de la pyramide au sol puis, avec l'aide d'un bâton, calcule également l'ombre du bâton. C'est ainsi qu'il aurait pu calculer les dimensions de la pyramide d'Egypte.
AB/AC=AE/AD.
En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.
Théorème : Si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Si le carré de l'hypoténuse n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. I. Le théorème de Thales pour calculer une longueur - sens direct.
Théorème de Pythagore :
Si un triangle est rectangle , alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Exemple 1 : Soit le triangle ABC rectangle en A ([BC] est donc l'hypoténuse), alors BC²=AC²+BA².
? Deux droites sont parallèles si les côtés correspondants de deux triangles sont proportionnels. ➡️ Exemple : Vous avez deux droites, (MN) et (PQ), et un troisième point O. Si les segments MO, NO, PO, et QO forment un quadrilatère où les côtés opposés sont parallèles, alors les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
Théorème de Pythagore — Si un triangle ABC est rectangle en C, alors AB2 = AC2 + BC2. Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB = c, AC = b et BC = a. Par contraposée : Théorème — Si AB2 n'est pas égal à AC2 + BC2 alors le triangle n'est pas rectangle en C.
Suivant une autre tradition, ce dernier serait parvenu à s'échapper, mais aurait péri pour s'être refusé à traverser un champ de fèves, plantes que la secte tenait pour sacrées.