a) On veut deux boules rouges. La proba d'obtenir une boule rouge au premier tirage est de 5/12. Au second tirage, il ne reste plus que 11 boules au total et seulement 4 rouges.
b. Calculons la probabilité de l'événement B : "Le tirage contient au moins 2 boules rouges". "Tirer au moins 2 boules rouges" revient à "tirer soit 2 boules rouges exactement, soit 3 boules rouges" Il y a donc 30+4=34 possibilités de tirer au moins 2 boules rouges.
Ainsi, la probabilité de tirer deux boules de même couleur est égale à 715 .
La probabilité de tirer une boule rouge vaut \dfrac{1}{2}. La probabilité de tirer une boule verte vaut \dfrac{1}{3}.
La probabilité de tirer d'abord une boule rouge est donc de 3/14 au premier tirage. Il reste au second tirage 13 boules, dont 6 vertes, 5 bleues et 2 rouges. La probabilité de tirer une boule verte ensuite est donc de 6/13. La probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte est donc de 9/91.
La probabilité de l'événement "tirer une boule blanche" est 0.32, donc celle de l'événement contraire "tirer une boule noire" est 1 - 0.32 = 0.68. Ainsi, il y a plus de chances de tirer une boule noire qu'une boule blanche: les boules noires sont les plus nombreuses.
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur E et prenant les valeurs x1,x2,..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi). Exemple : Dans l'exemple traité plus haut : p1 + p2 + p3 = 1 3 + 1 2 + 1 6 = 1.
Ils sont en nombre de nombre d'arragements avec ordre = A(p,n) = n!/(n - p)!
Expérience aléatoire composée sans remise
Afin de déterminer la probabilité d'un événement lors d'une expérience aléatoire composée, il suffit de multiplier la probabilité de chacun des événements dans l'ordre.
Je ne sais pas quoi ajouter : tirage succesif signifie qu'on prend en compte l'ordre et tirage simultané non, il y a donc plus d'issues dans le premier cas. La formule pour calculer le nombre de résultats possibles en jetant simultanément n dés k fois, qui est la combinaison avec répétition est Γkn=Ckn+k−1.
Cela revient à choisir p objets parmi n avec répétition (on peut choisir plusieurs fois le même objet) et avec ordre (l'ordre dans lequel on choisit les objets a de l'importance). Le nombre de tirages successifs avec remise de p jetons parmi n est : n × n × … × n = np.
L'arrangement fait partie de l'analyse de dénombrement (ou combinatoire) et est utilisé, entre autres, dans le calcul de probabilité.
Ex. : 30, 790, 9 850, 213 850, etc. Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3. Ex. : si l'on additionne le 1 et le 2 du nombre 12, on trouve 3 (1 + 2 = 3) ; donc 12 est un multiple de 3 (3 × 4 = 12).
Un arbre de probabilité ou arbre pondéré permet de décrire une expérience aléatoire et de calculer des probabilités. Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles.
La probabilité que "A ou B" se réalise s'obtient en additionnant la probabilité de A avec celle de B et en retirant la probabilité de "A et B" (qui a été compté deux fois, une fois dans les cas de A et une fois dans les cas de B) Donc : P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l'événement se produise est grand. L'étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l'histoire des mathématiques.
La formule pour calculer une probabilité conditionnelle est : P(B∣A)=P(B∩A)P(A) P ( B ∣ A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) où P(B∩A) P ( B ∩ A ) représente la probabilité de l'intersection des deux événements. De plus, il est nécessaire que P(A)>0 P ( A ) > 0 .
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y).
On estime qu'à un concours, un candidat a 20% de chance de réussir.
L'idée est simple : lorsqu'on joue au loto, il faut choisir entre 6 numéros entre 1 et 40 pour gagner le gros lot. En réalité, cela correspond à "seulement" 3 838 380 combinaisons possibles. Il suffit donc d'acheter toutes les combinaisons possibles pour s'assurer de gagner à chaque fois.
Lorsqu'il s'agit d'une expérience aléatoire effectuée avec remise, le nombre de combinaisons possibles se calcule à l'aide de la formule suivante : Nombre de combinaisons possibles=(n+k−1)!k! (n−1)! Nombre de combinaisons possibles = ( n + k − 1 ) ! k !
Le nombre de combinaisons des n éléments d'un ensemble E pris k à la fois est donné par la relation suivante : Ckn=n!k! (n−k)!
Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n. On ne doit pas confondre combinaison et arrangement.