Si ϕ : E × E → C est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si ϕ : E × E → K est un produit scalaire, alors ϕ(x,y) est noté 〈x|y〉. Si 〈·|·〉 est un produit scalaire sur E alors pour tout x ∈ E, 〈x|x〉 ≥ 0. On pose alors x = √〈x|x〉 qu'on appelle la norme de x.
Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, −−→AB⋅−−→CD=0. A B → ⋅ C D → = 0. En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation AB=√−−→AB⋅−−→AB.
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Définition (Produit scalaire) On dit que l'application f : E × E → R est un produit scalaire si : (a) ∀(u, u , v, v ) ∈ E4, ∀(α, β) ∈ R2, f(αu + βu ,v) = αf(u, v) + βf(u ,v) : on dit que f est linéaire `a gauche.
Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre défini par OA ⋅ OB ⋅ cos(θ). Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.
Le produit scalaire est distributif : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑤 = ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 + ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑤 . Le produit scalaire de deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l'angle qu'ils forment : ⃑ 𝑢 ⋅ ⃑ 𝑣 = ‖ ‖ ⃑ 𝑢 ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ ⃑ 𝑣 ‖ ‖ ⋅ 𝜃 , c o s où 𝜃 est l'angle entre ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 .
Le cas réel. pour tous v, w, v , w ∈ V et a, b, a ,b ∈ F. Elle est définie positive si ϕ( v, v) ≥ 0 pour tout v ∈ V , et ϕ( v, v) = 0 si et seulement si v = 0. Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire, symétrique, et définie positive.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Le produit scalaire et le produit vectoriel sont deux calculs réalisés à partir deux vecteurs de même nombre de composantes. Ils ont en revanche des différences fondamentales: Avec le produit scalaire on obtient un scalaire (c'est-à-dire un nombre) tandis qu'avec le produit vectoriel on obtient un vecteur.
où le point centré représente le produit scalaire(*). La vérification du fait que ce produit est associatif est aisée. Elle repose sur deux propriétés classiques du produit vectoriel, à savoir le fait qu'il agit par applications antisymétriques et l'identité du double produit vectoriel.
Définition. Définition: Pour calculer le produit scalaire de 2 vecteurs →u et →v: 1) On trouve 3 points A, B, C tels que →AB=→u et →AC=→v. 2) Par définition, le produit scalaire →u⋅→v dans l'espace est égal au produit scalaire →AB⋅→AC dans le plan.
Réponse. On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs est le produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l'angle entre eux. En d'autres termes, ⃑ 𝐴 ⋅ ⃑ 𝐵 = ‖ ‖ ⃑ 𝐴 ‖ ‖ ‖ ‖ ⃑ 𝐵 ‖ ‖ 𝜃 , c o s où 𝜃 est l'angle entre les deux vecteurs.
Si les deux vecteurs ont le même sens, alors leur produit scalaire sera toujours un nombre POSITIF. Mais, si les vecteurs sont de sens opposés, alors leur produit scalaire sera NEGATIF. Si un des vecteurs est nul ( égal à 0) alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul (égal à 0).
Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853.
D'après le cours, deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire si le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.
Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
2 droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ →AB et →CD sont colinéaires. Dans la pratique, pour savoir si (AB) et (CD) sont parallèles, on regarde si →AB et →CD sont colinéaires, à l'aide de la méthode "vecteurs colinéaires". Si →AB et →CD sont colinéaires, alors les droites sont parallèles.
Si les vecteurs sont parallèles et de même sens, leur produit scalaire est égal au produit de leurs longueurs. En effet : α = 0 et cos 0 = 1 . Si les vecteurs sont parallèles et de sens contraires, leur produit scalaire est égal à l'opposé du produit de leurs longueurs.
Le produit vectoriel est commutatif, quel que soit l'ordre dans lequel interviennent les deux vecteur, le résultat reste le même.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Pour la multiplication/division d'un vecteur par un nombre réel, il suffit de multipler/diviser les coordonnées. Exemples avec les points A(-4;6),B(-1;9),C(1;9) de la figure précédente : 2 AB → ( 2 ( x B - x A ) ; 2 ( y B - y A ) ⇒ 2 AB → ( 6 ; 6 )
Il existe une formule qui relie le produit vectoriel et le sinus. Considérons les vecteurs et de norme et . De plus, notons l'angle entre ces vecteurs et le vecteur unitaire perpendiculaire au plan où se trouvent et . Le produit vectoriel et le sinus sont reliés par cette relation : u → ∧ v → = ‖ u → ‖ ‖ v → ‖ sin .
Les vecteurs 77777⃗ et 7777⃗ ne sont pas orthogonaux. Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.