Les deux droites reliant un sommet au milieu de chaque médiane issue des deux autres sommets, coupent le côté opposé en trois parts égales. La plus grande ellipse inscrite dans un triangle (ellipse de Steiner) est tangente aux côtés du triangle aux pieds des médianes.
Propriété : Si deux points sont symétriques par rapport à une droite alors cette droite est la médiatrice du segment d'extrémités ces deux points. Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
Droite perpendiculaire à un segment et passant par son milieu. (C'est l'ensemble des points d'un plan contenant ce segment, équidistants de ses extrémités.)
Si un point M appartient à la médiatrice (d) d'un segment [AB] alors il est à égale distance de A et de B. On a : MA = MB. Si un point M est à égale distance de deux points A et B, alors M est sur la médiatrice de [AB].
Médiatrice : droite passant par le milieu d'un segment et perpendiculaire à ce segment. Bissectrice : demi-droite coupant un angle en deux parties égales.
La médiatrice d'un segment de droite, délimité par deux points d'un plan, est une ligne qui coupe perpendiculairement (90°) le segment en deux parties égales. Pour trouver son équation, il vous faut trouver les coordonnées du milieu du segment, la pente entre ces deux points, puis l'opposée inverse de cette pente.
Milieu, médiatrice, plan médiateur
L'ensemble des points du plan équidistants de deux points A et B constitue la médiatrice du segment [AB]. Le milieu du segment [AB] peut donc être défini comme l'intersection de la droite (AB) avec la médiatrice du segment [AB].
Tracer la droite passant perpendiculairement par le milieu d'un côté On trace la droite passant perpendiculairement et par le milieu d'un premier côté. On obtient la première médiatrice. On trace la droite passant perpendiculairement par le milieu de \left[ BC\right], c'est-à-dire la médiatrice de \left[ BC\right].
La première utilise la définition de la médiatrice d'un segment : c'est une droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment. Pour la construire, il faut : placer le milieu du segment avec la règle graduée ; tracer avec l'équerre la perpendiculaire au segment passant par le milieu.
On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle. Son centre est toujours le point de concours des médiatrices des 3 côtés de ce triangle.
Elle est désignée par une lettre minuscule entre parenthèses. Une demi-droite est une droite délimitée par un point d'un côté et infinie de l'autre. Elle est désignée par une lettre majuscule entre crochets d'un côté et une autre lettre majuscule entre parenthèses de l'autre.
Les 3 médiatrices d'un triangle sont les médiatrices de chacun de ses côtés. Ces 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle, les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle. La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
Résumons les droites remarquables :
Médiatrice d'un segment : Droite qui passe perpendiculairement en son milieu, Hauteur d'un triangle : Droite qui est perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé, Médiane d'un triangle : Droite qui passe par le milieu d'un côté et par le sommet opposé.
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse. Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
La bissectrice d'un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. La bissectrice d'un angle peut également être définie comme l'ensemble des points à égale distance des deux côtés de l'angle.
Il existe un point et un seul à égale distance de trois points non alignés. Ce point est l'intersection des médiatrices des trois côtés du triangle formés par ces trois points. Le point O sur la médiatrice OC' de AB est à égale distance R des points A et B.
La longueur d'un segment correspond à la distance entre ses extrémités. On mesure la longueur d'un segment avec une règle graduée.
¤ Une droite se note entre parenthèses. Exemple : (AB) désigne la droite qui passe par les points A et B. Remarque : une droite est illimitée. Propriété : par deux points ne passe qu'une seule droite.
Symétrique d'un point
Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une droite (d) s'ils se superposent par pliage le long de cette droite. Définition : On dit que le point A' est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA'].
1. À l'aide de la règle, mesurer le segment que l'on veut séparer en deux parties égales. 2. Diviser la valeur de la mesure du segment en deux et l'indiquer sur le segment.
Le vecteur (−b;a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax+by+c=0. p. 214. Réciproquement, si le vecteur (−b;a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax+by+c=0 (avec c à déterminer).
On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).