Une fonction affine est croissante si et seulement si son taux de variation est positif. Une fonction affine est décroissante si et seulement si son taux de variation est négatif. Une fonction affine est constante si et seulement si son taux de variation est nul.
Une variation croissante est symbolisée par une flèche droite dirigée vers le haut à droite, tandis qu'une variation décroissante est symbolisée par une flèche dirigée en bas à droite. Le cas d'une fonction constante sur un intervalle est éventuellement noté par une flèche horizontale dirigée vers la droite.
2) Sens de variation et signe de la dérivée
f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle. f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle.
Les fonctions peuvent être variées et utiliser différentes expressions, par exemple, f ( x ) = x 2 ou f ( x ) = 2 x − 1 . Nous verrons principalement deux types de fonctions importantes : les fonctions composées et les fonctions inverses.
Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction valeur absolue, 3 cas sont possibles. Dans tous les cas, on utilise la forme canonique simplifiée : f(x)=a|x−h|+k. f ( x ) = a | x − h | + k .
Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle I
A l'inverse, si f'(x) est inférieure ou égale à 0, alors f est décroissante sur I. Pour connaître le signe de f', il suffit simplement de déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) s'annule, or on sait construire le tableau de signe d'une fonction de type ax + b.
Une fonction est dite strictement croissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font qu'augmenter. Une fonction est dite strictement décroissante sur un intervalle de x si les valeurs de y ne font que diminuer.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Comment dresser et lire un tableau de variation ? Soient I un intervalle et f une fonction définie sur I. f est croissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≤ f(b). f est décroissante sur I signifie que pour tout a et b de I, si a ≤ b, alors f(a) ≥ f(b).
Méthode : Pour étudier les variations d'une fonction polynome du 3° degré, il suffit de déterminer l'expression de sa fonction dérivée ( qui sera du 2° degré ), puis d'étudier son signe et de conclure avec le théorème.
Sens de variations : Soit f la fonction affine définie par f(x) = ax + b. Si a>0, alors f est croissante sur ℝ. Si a<0, alors f est décroissante sur ℝ.
Donner le sens de variation d'une fonction c'est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.
2) Variations Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. < 0. Donc / est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[. 1) En +∞ On s'intéresse aux valeurs de ( ) lorsque x devient de plus en plus grand.
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Si le taux de variation est positif (a>0), la fonction est croissante sur tout son domaine. Si le taux de variation est négatif (a<0), la fonction est décroissante sur tout son domaine.
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Pour montrer qu'une fonction f(x) est croissante, il suffit de montrer f(x + a) > f(x) si a est strictement positif ou ce qui revient au même que f(x + a) - f(x) > 0 si a > 0. Avec f(x) = x3 on y arrive comme suit : (x+a)3−x3=x3+3ax2+3a2x+a3−x3.
Sens de variation de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. On en déduit que : Pour tous a et b strictement positifs, a < b ln (a) < ln (b). Pour tous a et b strictement positifs, a = b ln (a) = ln (b).
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
La fonction est une opération mathématique qui permet de mettre en correspondance deux nombres ou deux grandeurs. On associe un nombre unique à un autre nombre qu'on appelle « image ». Autrement dit, imaginez une machine, appelée « f » dans lequel on entre un nombre « x ».