Dire que f est minorée sur un intervalle I c'est dire qu'il y a un nombre m tel que pour tout nombre x de I, on a f(x)>=m. On dit aussi que m minore f sur I, ou que f est minorée par f sur I. Si m minore f sur i, pour tout nombre n<m, n minore f sur I.
f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f . f est minorée sur I , s' il existe un réel m tel que pour tout x de I , f ( x ) ≥ m . On dit que m est un minorant de f .
Une fonction à valeurs réelles est dite majorée ( resp. minorée) si l'ensemble de ses valeurs possède un majorant ( resp. minorant) réel. Elle est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
Soit f:E->R une fonction. * f est majorée si f(x)< (ou =) M pour tout E de U. On dit alors que M est un majorant de f.
On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u. On dit que la suite u est bornée lorsqu'elle est à la fois majorée et minorée.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Lorsque l'ensemble ordonné est celui des réels, l'existence d'une borne supérieure est assurée pour toute partie non vide et majorée : on dit que ℝ possède la propriété de la borne supérieure. Cette même propriété assure aussi l'existence d'une borne inférieure pour tout ensemble non vide et minoré de réels.
On dit qu'une fonction f est croissante ssi pour x et y dans le DD de f , si on a x ≤ y, on a aussi f (x) ≤ f (y). En langage plus formel, ça donne ∀x,y ∈ DD(f ),x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Pour minorer fg par un nombre strictement positif, avec f et g strictement positives, on minore f et g par des nombres strictement positifs, et on multiplie les deux minorants trouvés.
Une fonction est constante si et seulement si son image est réduite à un singleton. Une fonction constante d'une variable réelle est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. La dérivée d'une fonction constante est nulle.
Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère. On peut déterminer la parité d'une fonction par le calcul.
Les bornes (supérieure et inférieure) d'une fonction se lisent sur son TV : ce sont le plus grand et le plus petit des nombres qui apparaissent dans la ligne des y.
La fonction f est continue sur l'intervalle fermé borné [0,A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour tout x ∈ [0,A], f(x) ⩽ M. En prenant M = max(M,l + 1), nous avons que pour tout x ∈ R, f(x) ⩽ M . Donc f est bornée sur R.
Fonction mathématique, f définie sur un intervalle I est dite décroissante sur I si pour tous réels a et b appartenant à I tels que a < b, on a f(a) > f(b).
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
(Mathématiques) Plus grand minorant. Note : Pour un ensemble X de réels, l'infimum, s'il existe, est le plus grand réel inférieur ou égal à tous les réels de X. L'existence d'un infimum pour les parties bornées inférieurement est toujours vérifiée, et découle de la définition mathématique des nombres réels.
Si une partie admet un plus grand élément, c'est sa borne supérieure. Si a et b sont deux réels tels que a<b alors sup([a, b[) = b.
Terme utilisé pour désigner un plus petit ou un plus grand objet d'un ensemble de nombres ou d'une figure géométrique. Une borne peut appartenir ou ne pas appartenir à l'ensemble concerné. Les bornes d'un intervalle sont les limites de cet intervalle. La borne d'une figure est la frontière de cette figure.
Une suite (un) est minorée s'il existe un nombre m tel que, pour tout entier naturel n, u n ≥ m u_n \geq m un≥m. m est appelé le minorant de (un).
élever, hausser, relever; anton. baisser, diminuer.
Un réel M est un majorant de F signifie que pour tout y de F, yM. Un réel m est un minorant de F signifie que pour tout y de F, m y. Remarque. En général, M et m, si ils existent, ne sont pas des éléments de F.