Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu.
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C.
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Une fonction f:I→R f : I → R , où I est un intervalle, est convexe si, pour tous x et y de I , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Qui présente une courbe en bosse. Ligne courbe convexe. — Un cercle, une ellipse sont convexes.
À l'aide de la courbe représentative de f
Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I. Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).
– La fonction f est convexe si et seulement si le graphe de f est situé au-dessus de tous ses hyperplans tangents. – La fonction f est convexe si et seulement si sa différentielle est croissante (on dit aussi monotone) au sens suivant ∀x, y ∈ U, (Df(x) − Df(y)).
Dans la langue courante, concave signifie creux, soit une forme arrondie vers l'intérieur. Son contraire est convexe ou bombé. Le mot concavité a un sens directement relié au concept mathématique d'ensemble convexe, la concavité d'un objet désignant la partie de celui-ci qui a une forme en creux.
Ainsi d'un objet virtuel, situé au-delà du centre de courbure, le miroir convexe donne une image virtuelle, renversée et réduite, située entre le centre de courbure et le foyer.
Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à 180∘. 180 ∘ . Tous les polygones réguliers sont des polygones convexes.
Une droite est un sous-espace vectoriel (de l'espace vectoriel euclidien). Or tout sous-espace vectoriel est convexe.
On peut facilement distinguer les polygones convexes des polygones concaves. Pour les polygones convexes, toutes les diagonales sont à l'intérieur du polygone, alors que pour les polygones concaves, au moins une des diagonales se situe à l'extérieur du polygone.
Adjectif. Qui présente une surface en creux. Surface, ligne courbe, polygone concave.
En géométrie euclidienne, un carré est un quadrilatère convexe à quatre côtés de même longueur avec quatre angles droits.
Polygone strictement convexe
De manière équivalente, un polygone est strictement convexe si tout segment de droite joignant deux sommets non consécutifs du polygone est contenu, à l'exception de ses extrémités, dans l'intérieur du polygone. Tout triangle non dégénéré est strictement convexe.
Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.
Soit une application d'un intervalle dans ; on dit que l'application est convexe si, quels que soient ( x 1 , x 2 ) ∈ I 2 et λ ∈ [ 0 , 1 ] on a : f ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) ≤ λ f ( x 1 ) + ( 1 − λ ) f ( ) .
Un polygone non convexe (voir aussi non-convexe), concave ou rentrant, désigne un polygone simple ayant au moins un angle rentrant intérieur, c'est-à-dire un angle dont la mesure se situe entre 180 et 360 degrés.
La condition nécessaire et suffisante de minimum pour une fonction convexe est simple, c'est que 0∈∂f(x) où ∂f(x) désigne le sous-différentiel de f en x (bon, il y a des conditions sur f pour qu'il existe, mais très faibles).
Un moyen très simple de comprendre la différence entre concave et convexe est de prendre une cuillère à soupe. Le côté qui sert de récipient est concave. Si l'on regarde son propre reflet dedans, on paraît plus gros. Le côté qui ne sert pas de récipient est convexe.