Naissance de la notion de dérivée : Sir Issac Newton et Gottfried Wilheim Leibniz (fin du XVIIè s.)
En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique. L'illustration qui suit permet de visualiser la droite tangente (en bleu) d'une fonction quelconque en deux points distincts. Remarquez que l'inclinaison de la droite tangente varie d'un point à l'autre.
On a ainsi : f (x) = u(x) + v(x).
Soit h un nombre réel tel que a + h a+h a+h appartienne à I. On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement de f en a admet pour limite un nombre réel lorsque h tend vers zéro. Ce nombre, noté f ′ ( a ) f'(a) f′(a) est appelé nombre dérivé de f en a.
Re : Dérivée = 0
Si une dérivée est nulle en tout point, c'est que la fonction est contante, c'est-à-dire que pour tout x, f(x)=k avec k un réel.
La dérivée de 1 est nulle, car c'est une constante.
La dérivée de 2x est égale à 2.
Exemple : (3x2)' = 3 × 2x = 6x.
La notation f′ (qui se lit f prime ) pour désigner la dérivée de la fonction f est due au mathématicien français Lagrange (1736 - 1813). Cette notation est la plus usuelle et la plus simple si la fonction étudiée est une fonction d'une seule variable.
Dérivées : La dérivée de cosinus est égale à un sinus négatif, et la dérivée de sinus est égale à un cosinus positif.
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie. Elle permet de mesurer l'évolution des taux de variations. Par exemple, la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps est la variation de la vitesse (taux de variation du déplacement), soit l'accélération.
Re : Dérivée en physique
la dérivée d'une fonction par rapport à une variable, c'est l'expression de la variation de cette fonction par rapport à cette variable.
Une notation possible pour sa dérivée est df dx (on parle de «notation différentielle»). f(x + h) − f(x) (x + h) − x . On a au dénominateur une «petite» variation de x (celui-ci varie de h, qui tend vers 0), et au numérateur, la variation de f lorsque x subit cette variation.
La dérivée d'une fonction permet : De calculer le coefficient directeur et donc l'équation d'une tangente. De déterminer, avant de faire un graphique, les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
La fonction exponentielle est dérivable sur Ë. Elle est sa propre dérivée, ce qui signifie que, quel que soit x : exp'(x) = exp (x) Si f(x) = ex, alors f'(x) = ex. Dem : ln ( exp (x) ) = x, les dérivées de ces deux fonctions sont donc toutes les deux égales à 1. d'où exp'(x) = exp(x).
Démonstration : La fonction f =1/u est la composée de deux fonctions la fonction u suivie de la fonction inverse. La fonction inverse est définie et dérivable sur chaque intervalle ]-∞ ;0[ et ]0 ;+∞[ , donc la fonction composée f est définie et dérivable sur les intervalles ou la fonction u est dérivable et non nulle.
On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. On considère la fonction f, dont la courbe représentative C_f est donnée ci-dessous. T_0 est la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
Définition : Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par f(x) = ax2 +bx + c . On appelle fonction dérivée de f, notée f ', la fonction définie sur ℝ par f '(x) = 2ax +b.
Si la dérivée est d'abord positive , s' annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ». Si la dérivée est d'abord négative , s' annule puis devient positive la fonction passe par un « minimum ». Point d'inflexion : L'annulation de la dérivée sans changement de signe correspond à un point d'inflexion.
Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).
Rappels : la dérivée d'un produit de deux fonctions u(x)×v(x) u ( x ) × v ( x ) est u′(x)v(x)+u(x)v′(x) u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) et la dérivée d'une inverse de v(x) est −v′(x)v(x)2 − v ′ ( x ) v ( x ) 2 dans la mesure où v(x) n'est pas nul.
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.