L'ensemble D est une notation franco-française issue de la pédagogie des années 1970. Tous nombre pouvant s'écrire sous la forme d'un quotient. C'est encore Peano qui inventa cet ensemble, Q venant de quotiente en italien.
La construction formelle de cette ensemble est de nouveau obtenue par Dedekind (1831 − 1916) et la notation Z (du mot allemand Zahlen signifiant nombres) est popularisée par le mathématicien polycéphale Bourbaki (né en 1935).
Dedekind publie sa construction des réels au moyen des coupures en 1872. En 1878, Dini publie un traité donnant les principales démonstrations sur les nombres réels.
Ce sont les mathématiciens R. Dedekind et G. Peano qui eurent l'idée de cette axiomatique à la fin du XIXe siècle.
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
Les nombres naturels, représentés par N , regroupent tous les nombres entiers compris entre 0 inclusivement et l'infini positif. On utilise parfois l'appellation nombres entiers naturels pour désigner cet ensemble. Les nombres naturels représentent tous les nombres entiers positifs.
L'ensemble D
C'est l'ensemble des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est, non seulement, un nombre entier relatif, mais peut aussi être un nombre à virgule flottante, positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -4.2, -3, -2, -1.5, -1, 0, +0.7, +1, +2, +2.4, +3, +4, +5, +6, +6.75 +7, +8, etc.
Construction de l'ensemble Z
des entiers naturels, muni de la loi interne addition, est un monoïde commutatif ; donc notre but est simplement de rajouter un opposé (élément symétrique pour l'addition) pour chaque entier non nul. Il ne s'agit pas de rajouter brutalement un élément, il faut aussi définir l'addition.
Vérité admise sans démonstration et sur laquelle se fonde une science, un raisonnement ; principe posé hypothétiquement à la base d'une théorie déductive.
Ensemble de tous les entiers
L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels.
Isaac Newton (1643 - 1727) développe la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine de l'utilisation du terme vecteur.
Il appelle coupure (C, C′) de l'ensemble Q des nombres rationnels une partition de cet ensemble (c'est-à-dire C et C′ non vides, C ∪ C′ = Q et C ∩ C′ = ∅) telle que tout rationnel de C dépasse strictement tout rationnel de C′.
Les nombres réels, représentés par R , sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels (Q) et irrationnels (Q′) .
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
Postulat 1 : De tout point `a tout autre point on peut tracer une ligne droite. Postulat 2 : Toute droite finie peut être prolongée indéfiniment et continûment. Postulat 3 : Avec tout point comme centre et tout rayon, on peut tracer une circonférence. Postulat 4 : Tous les angles droits sont égaux entre eux.
Au sein d'une théorie axiomatique, c'est un énoncé indépendant des autres axiomes, par contre un postulat, que l'on appelle de manière contemporaine plutôt une conjecture, est un énoncé supposé être un théorème de la théorie mais qui possiblement peut être un indécidable de cette théorie, ainsi le statut (indécidable ...
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui peut être positif, négatif ou nul. L'ensemble des nombres relatifs se note . (« Z » est l'initiale du mot « Zahl » qui signifie « nombre » en allemand). On dit aussi un entier relatif au lieu de nombre entier relatif.
Les nombres entiers et les ensembles de nombres
Bref, l'ensemble des nombres entiers (Z) comprend les nombres entiers positifs, que l'on appelle les nombres naturels (N) , et leurs opposés. Le nombre 8 , le nombre -92 683 et le nombre -11 , ainsi que leurs opposés, font partie des nombres entiers.
Exemples: (+5) + (+7) = (+12) et (-3) + (-15) = (-18). Pour additionner des nombres de signes différents: - on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande; - on place devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. Exemples: (+6) + (-9) = (-3) et (-5) + (+7) = (+2).
Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.
L'ensemble des nombres réels est noté R. Les réels non rationnels sont appelés irrationnels. Tout nombre rationnel est un nombre réel ; R contient Q.
L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;... L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...