Une suite u est dite convergente vers un point l (pas nécessairement unique) dans un espace topologique X lorsque tout voisinage de l contient tous les termes de la suite à partir d'un rang suffisamment grand ; une série est convergente lorsque la suite de ses sommes partielles l'est.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
La convergence est l'action de converger, donc de se rapprocher, de se diriger vers un seul et même point. La divergence est le fait de diverger, c'est-à-dire de s'éloigner, de s'écarter de plus en plus.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
L'étude de la convergence simple revient à étudier la convergence des suites $(f_n(x))_{n\geq 1}$, lorsque $x\geq 0$ est fixé. Mais $x$ étant fixé, puisque $1+x>0$, on a clairement $f_n(x)$ qui tend vers $1/(1+x)$.
Chercher le signe de . Comparer le quotient et le réel 1 pour une suite à termes strictement positifs. Etudier, sur , le sens de variation de la fonction telle que . Conjecturer à l'aide des premiers termes du sens de variation de la suite puis justifier cette conjecture à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
(L'unité de convergence est le m−1 ou dioptrie.)
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée : 3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge.
On peut calculer la divergence d'un champ de vecteurs exprimés en coordonnées cylindriques. Soit un vecteur V(r,θ,z) = MN(r,θ,z) dont l'origine est située en un point M(r,θ,z), à l'intérieur d'un repère fixe (O,i,j,k). En coordonnées cylindriques, V(r,θ,z) = Vr(r,θ,z) u + Vθ(r,θ,z) v + Vz(r,θ,z) k.
Si la suite ne se rapproche d'aucun réels, alors elle est divergente. Mais attention : une suite divergente admet soit une limite infinie, soit aucune limite. On dira qu'une suite un admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert ]a ; +∞[ contient tous les termes de la suite un à partir d'un certain rang p.
(Xn) converge en loi vers X si, notant Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X , en tout réel x où F est continue, on a : Fn(x)→F(x).
S n = ∑ k = 1 n 1 k 2 . la convergence géométrique : le reste est de l'ordre de C⋅kn C ⋅ k n , avec 0<|k|<1. 0 < | k | < 1. C'est par exemple la vitesse de convergence que nous donne le théorème du point fixe pour les applications contractantes.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
Proposition 1.5. Soit (un) une suite de nombres ≥ 0. La suite converge géométriquement si et seulement si on a lim n √ un < 1. décroissante, donc convergente, et qu'on a lim n √ un = limsn par définition.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & .
Par le principe de récurrence, P(n) P ( n ) est vraie pour tout entier n n et on a bien démontré que la suite (un) ( u n ) est croissante. Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
En effet, si |xn| ≤ K pour tout n > N alors |xn| ≤ M pour tout n, en posant M = max(|x0|, |x1|, … , |xN|, K). Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1).
Mathématiques et physique
en statistiques, une divergence est une mesure de la dissimilarité entre deux distributions ; une suite ou une série qui n'a pas de limite est dite divergente (voir aussi l'article Série divergente). une intégrale impropre qui n'a pas de limite est également dite divergente.
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
Différence, désaccord entre les opinions, les intérêts des personnes, des groupes ; opposition : Des divergences d'intérêts. 3.
Remarque : Une suite qui est divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite de terme générale (−1) prend alternativement les valeurs –1 et 1. Elle n'admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.