La densité de Q dans R signifie simplement que dans n'importe quel intervalle non vide de R et ne comportant pas un seul élement (donc au moins deux éléments), on peut trouver un rationnel (donc appartenant à Q).
Les éléments de l'ensemble sont tous minorés par 1 donc la borne inférieure de l'ensemble est supérieure ou égale à 1. Soit ϵ > 0. Comme R \ Q est dense dans R, il existe z un nombre irrationnel tel que, 1 <z< 1 + ϵ. Le nombre 1 + ϵ n'est donc pas un minorant de l'ensemble.
Si B est une autre partie de X, ne contenant pas nécessairement A, on dit que A est dense dans B si son adhérence contient B. Si X est un espace métrique complet, une partie Y de X est dense dans X si et seulement si X est le complété de Y.
Re : N dense dans R ? Tu prends la topologie grossière sur R et alors N est dense dans R. On doit pouvoir trouver des topologies moins grossières pour lesquelles la fermeture de N est encore R.
Définition 4.
Une partie I de R est un intervalle si, dès qu'elle contient deux réels, elle contient tous les réels intermédiaires : ∀c, d ∈ I , ∀x ∈ R , (c ⩽ x ⩽ d) =⇒ (x ∈ I) .
Solution de l'exercice 7. Q est dénombrable. Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ≥ 1 et p ∧ q = 1. L'application f : Q ↦→ Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.
Une partie A de R est fermée si son complémentaire R \ A est une partie ouverte de R. +,]a − r, a + r[⊂ R \ A. Exemple 1.2.13. — Un segment [a, b], avec a ≤ b ∈ R est fermé, car R \ [a, b] =] − ∞,a[∪]b,+∞[ est une réunion d'intervalles ouverts, donc est une partie ouverte de R.
Définition 1 Une partie U ⊂ R est dite ouverte si pour tout x ∈ U, il existe ϵ > 0 tel que ]x − ϵ, x + ϵ[⊂ U. Une partie F ⊂ R est dite fermée si son complémentaire U = R \ F est ouvert.
ouverts de R. Les intervalles de ℝ sont définis exactement comme les intervalles de ℚ. En particulier, les définitions d'intervalles ouverts et fermés sont les mêmes. Un sous-ensemble de ℝ est dit 'ouvert', si chaque fois qu'il contient un point x il contient un intervalle ouvert non vide contenant x.
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
Un nom dénombrable doit pouvoir être précédé de one, two, three ou a/an. À l'inverse, un nom indénombrable ne peut pas être précédé de one, two, three ou a/an. Néanmoins, certains noms peuvent changer de catégorie en fonction du contexte.
Les noms indénombrables représentent des choses que nous ne pouvons pas compter avec des chiffres. Ces noms désignent souvent des idées ou des qualités abstraites, ou des objets physiques qui sont trop petits ou trop fluides pour être comptés un par un (des liquides, des poudres, des gaz, etc.).
c) pour exprimer une quantité, on est obligé d'utiliser un terme qui en extrait une partie, comme : some (du/ de la), a lot of (beaucoup), a piece of (un morceau / une partie), a bit of (un peu de), a great deal of (une grande quantité de)... Exemples : They've got a lot of furniture. Ils ont beaucoup de meubles.
Ainsi, on utilise many uniquement avec les noms dénombrables et much uniquement avec les noms indénombrables.
People est bien un nom dénombrable. La preuve, on peut mettre un chiffre devant : 10,000 people demonstrated yesterday in Paris.
Many s'utilise pour les noms dénombrables. Many friends(beaucoup d'amis). Much s'emploie pour les noms indénombrables. Much patience (beaucoup de patience).
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Pour cela, on considère f:Z→N f : Z → N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n≥0 n ≥ 0 et f(n)=−(2n+1) f ( n ) = − ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.
Pour éviter les paradoxes, zfc impose quelques contraintes qui sont devenues des vérités mathématiques absolues : il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles, un ensemble ne peut pas être élément de lui-même, il n'y a pas d'ensemble de tous les ordinaux, ni d'ensemble de tous les cardinaux, etc.
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
L'ensemble des entiers naturels est l'ensemble N des entiers positifs ou nuls : 0;1;2;... L'ensemble des entiers relatifs est l'ensemble Z des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs : ...;−3;−2;−1;0;1;2;3;...
L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. 2 ∉ ℚ. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.