Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan. appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan.
Pour savoir si →u, →v et →w sont coplanaires:
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi les 3. Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles. - S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires.
coplanaire
Se dit de points, de droites situés dans un même plan.
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces vecteurs situés dans un même plan. Attention, le fait qu'initialement les premiers représentants choisis ne soient pas dans un même plan n'empêche absolument pas les vecteurs d'être coplanaires.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes. rappel .
Les vecteurs \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux nombres réels \lambda et \mu tels que \vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}. Vocabulaire On dit que \vec{w} est une combinaison linéaire de \vec{u} et \vec{v}.
Les vecteurs , et sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que O est un point quelconque et que les points A, B et C définis par : , et . Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec et non colinéaires.
Des lignes, des segments ou des vecteurs sont coplanaires s'ils sont dessinés sur un plan ou sur des plans parallèles; ils sont tous horizontaux ou verticaux ou obliques de la même manière. Deux droites définies par les équations sont colinéaires si elles ont même coefficient directeur.
Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. Le déterminant de u (−3 ;9) et v (1 ;−3) est det(u ;v )=(−3)×(−3)−9×1=0.
Proposition (Caractérisation de la colinéarité dans l'espace) Deux vecteurs de l'espace et sont colinéaires si et seulement si u → ∧ v → = 0 → .
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et A C → \overrightarrow{AC} AC sont colinéaires. C'est-à-dire : « A, B et C sont alignés si et seulement s'il existe un réel k tel que A C → = k A B → \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} AC =kAB ».
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».
Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Un repère de l'espace est constitué d'un point et d'une base de l'espace. La somme des vecteurs et est le vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de et : . Soit k un réel quelconque.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles sont coplanaires et non sécantes (c'est-à-dire confondues ou n'ayant aucun point commun). Attention : Dans l'espace, 2 droites non sécantes ne sont pas forcément parallèles !
3) Deux droites peuvent avoir exactement trois points communs. 4) Deux droites non perpendiculaires sont sécantes. ou parallèles le sont réellement.
Sur une droite quelconque représentant une direction donnée, il y a deux sens de parcours. Par un point P du plan passent une infinité de droites; chacune d'elles appartient à une direction différente. Une seule de ces droites passe par un point Q différent de P et cette droite définit la direction PQ.
L'identification de droites sécantes
À l'aide des équations, on reconnait deux droites sécantes lorsque leur pente est différente (car ce sont des droites qui ne sont pas parallèles). Les équations y=2x+3 y = 2 x + 3 et y=5x+1 y = 5 x + 1 sont sécantes puisque leur pente est différente.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.