Traduit de l'anglais-
Par exemple, ℝ* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ℤ.
R*+ --> R est la définition d'une application qui prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels positifs non nul(l'étoile) et dont l'ensemble d'arrivée c'est-à-dire le résultat de l'application ou la fonction est un réel (appartient à R). source mes connaissances.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Les nombre réels sont les abscisses des points d'une droite munie d'un repère : il s'agit donc de tous les nombres connus en seconde, qu'ils soient naturels, relatifs, rationnels ou irrationnels. L'ensemble des nombres réels se note IR. Exemples : V(2) ; 1,4 ; -3/8 ; 2 ; Pi ; ....
Les nombres naturels 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les entiers relatifs [...] -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 [...], les nombres rationnels (1/2, -3/4 par exemple) sont aussi des nombres réels.
0 est un nombre réel, donc il appartient à R.
La raison d'une suite arithmétique, dont le premier terme u1 est égal à a , est donnée par la formule : r=un−an−1 r = u n - a n - 1 .
Le nombre 4 est un nombre naturel. Il fait aussi partie des entiers. De plus, il est considéré comme un nombre rationnel, car il peut s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers : 41. Ainsi, comme 4 fait partie des naturels, des entiers et des rationnels, il fait automatiquement partie des réels.
Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.
L'ensemble des réels non nuls est noté (se dit « étoile »). Ce n'est pas un intervalle, car il y a un trou en 0.
Pour simplifier l'écriture de certains intervalles, on utilise des notations particulières. Ainsi, $\mathbb{R}^+$ correspond à l'ensemble des nombres réels positifs, que l'on peut aussi noter $[0; +\infty [$. $\mathbb{R}^-$ correspond à l'ensemble des nombres réels négatifs, que l'on peut aussi noter $]- \infty; 0]$.
Les ensembles de la forme {x ∈ R|P(x)} sont appelées parties de R. Ce sont donc les éléments de l'ensemble des parties de R, qu'on note P(R). Comme ces parties sont des ensembles, on doit dire quels sont leurs éléments.
Certains nombres comme π ou √2 ne peuvent s'exprimer comme des fractions, l'ensemble R contenant ces nombres n'a été inventé qu'à la fin du 19ième siècle par les mathématiciens Cantor et Dedekind.
On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c'est-à-dire contient au moins un élément de X). Proposition 0.2. Soit X une partie de R. Pour que X soit dense dans R il faut et il suffit que tout point de R soit limite d'une suite d'éléments de X.
Une notion mathématique des plus abstraites qui ne paraît pas si simple à définir et dont on peut même remettre en doute l'existence. L'infini ne nous est pas accessible et ne fait pas partie du monde réel.
L'ensemble des entiers naturels { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … } est noté . Un nombre réel est un entier relatif si son écriture décimale ne contient que des zéros. L'ensemble des entiers relatifs { ... –4 ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 … } est noté .
Exemples : √2, √3 ou encore sont des nombres irrationnels. Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction.
∑ [terme général d'une suite arithmétique] = [nombre de termes] × [premier terme] + [dernier terme] 2 .
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r . Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
Forme explicite : si la suite (un) est arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors pour tout entier naturel n, un = u0 +nr. Plus généralement, pour tous entiers naturels n et p, un = up +(n −p)r. Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : S = u0 +u1 +···+un = (n +1)(u0 +un) 2 .
Valeur de 0!
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
1. Sans limites dans le temps ou l'espace : La suite infinie des nombres. 2. Qui est d'une grandeur, d'une intensité si grande qu'on ne peut le mesurer : Il est resté absent un temps infini.
L'ensemble des nombres entiers, représenté par le symbole Z, regroupe tous les nombres naturels (entiers positifs) et leurs opposés (entiers négatifs).