En algèbre, un polynôme est dit scindé sur un corps commutatif K s'il est décomposable en facteurs de degré 1 sur K. C'est toujours le cas si K est un corps algébriquement clos ; En algèbre homologique, une suite exacte courte dans une catégorie abélienne est dite scindée s'il existe une section du second morphisme.
Un polynôme P de K[X] est dit scindé sur K s'il se factorise sous la forme P(X)=C(X−a1)⋯(X−an), P ( X ) = C ( X − a 1 ) ⋯ ( X − a n ) , où tous les ai sont des éléments de K et où C∈K∗ C ∈ K ∗ . Autrement dit, P est scindé s'il s'écrit comme produit de polynômes de degré 1 à coefficients dans K .
En algèbre, un polynôme est une expression mathématique, encore appelée équation, constituée d'une part de produits (ou nombres multipliés entre eux) et/ou de sommes (ou nombres additionnés entre eux), d'autre part de nombres déterminés (ou nombres constants) et de nombres indéterminés (encore appelés inconnues).
On dit qu'un polynôme P est irréductible sur A[X], s'il est non nul, non inversible dans A[X] et que toute réduction P = QR où Q, R ∈ A[X] implique que soit Q, soit R est inversible. On notera c(P) le contenu de P, autrement dit le pgcd des coefficients de P.
On dit que a est racine d'ordre r de A s'il existe un polynôme Q tel que A = (X a)rQ avec Q(a) 6= 0. Autrement dit, a est racine d'ordre r de A si A est divisible par (X a)r mais pas par (X a)r+1. Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . .
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi. Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans.
Définition II. 2.1. On dit qu'un polynôme f non constant `a coefficients dans un corps K est irréductible (sur K) s'il ne peut se décomposer en produit de facteurs de degré strictement inférieur `a celui de f (`a coefficients dans K).
Si le degré de est égal à 1, est irréductible et il y a un seul polynôme unitaire irréductible le divisant, à savoir le polynôme 1 λ P = P 1 où est le coefficient dominant de . On a donc P = λ P 1 . Soit r un entier supérieur ou égal à 2.
Théorème de la division euclidienne des polynômes — Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K, avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) tel que A est égal à BQ + R et le degré de R est strictement plus petit que celui de B.
Polynôme : qu'est-ce que c'est ? Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X2 – X sont 0 et 1.
En algèbre commutative, le degré d'un polynôme (en une ou plusieurs indéterminées) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une somme de monômes. Le degré d'un terme est la somme des exposants des indéterminées qui y apparaissent.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
Définition 5 Le polynome minimal d'une matrice A est un polynôme M de degré minimal tel que M(A) = 0 et de coefficient dominant égal à 1. Un tel polynome divise tous les polynomes tels que P(A) = 0, il divise le polynome caractéristique de A et il a les mêmes racines que le polynome caractéristique.
Un polynôme est unitaire si son coefficient adeg(P ) de plus haut degré est égal à 1. 5. La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d'un polynôme par un élément de K ont un sens naturel et possèdent les propriétés requises (commutativité, associa- tivité, distributivité, . . . )
Généralement, la factorisation permet de simplifier une expression algébrique afin de résoudre un problème plus facilement. Les facteurs obtenus après la factorisation sont des polynômes de degré inférieur (ou égal) au polynôme de départ.
Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x0)2.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
Pour cela, on utilise le tableau de Horner : On commence par reporter les coefficients du polynôme (1) dans la première ligne dans l'ordre des exposants décroissants. On place la racine évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne. On reporte le premier coefficient dans la première case de la troisième ligne.
Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s). Pour cela, on peut utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.
Noter, également que certaines fractions ne sont pas simplifiables par exemple 1/3, 2/7, etc. Pour simplifier une fraction il faut connaitre quelques règles de base: la division d'un nombre par lui même donne 1 (autrement dit si le numérateur est égale au dénominateur on obtient 1) par exemple 2/2 = 1.
L'ubiquité est « le fait d'être présent partout à la fois ou en plusieurs lieux en même temps. » De tous les nombres, π est celui qui jouit le plus spectaculairement de cette propriété : on le rencontre sans cesse en mathématiques et en physique.
pi ou pis. Lettre grecque qui correspond au "p". Symbole définissant le rapport constant entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Il est égal à environ 3,1415926536.
Le nombre Pi est la plus célèbre constante mathématique. Il s'agit d'une « constante », car il correspond au rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. La plupart des gens connaissent sa base — 3,14 — mais ensuite cela se corse : et pour cause, c'est un nombre infini.