En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
La notion naturelle de convergence pour une suite de fonctions (fn) est celle que l'on a vue pour les courbes représentatives. On veut pouvoir dire que la suite de fonctions (fn) converge vers f lorsque la courbe représentative de la fonction fn se rapproche, quand n tend vers l'infini, de celle de f.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Résumé La pensée convergente consiste à trouver une seule solution bien définie à un problème donné, à l'opposé de la pensée divergente qui implique davantage de créativité.
Le 'test de Cauchy' ou 'règle de Cauchy' (pour ne pas confondre avec le critère précédent), qui peut s'énoncer ainsi: Une condition suffisante pour la suite (un) converge est que la lim supn→∞ |un+1-un|1/n = q avec q<1.
Définitions : On dit qu'une suite ( )un est divergente lorsque qu'elle ne converge pas. Une suite divergente est donc une suite qui n'admet par de limite ou qui admet +õ ou –õ comme limite.
un = 0. Si q = −1, la suite oscille entre deux valeurs distinctes et n'a pas de limite. Si q < −1, |un| diverge vers +∞ (puisque c'est une suite géométrique de premier terme positif et de raison plus grande que 1), donc (un) n'est pas bornée et ne peut converger.
Avec des quantificateurs, la propriété lim un = l se traduit par ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, l − ε ≤ un ≤ l + ε. On peut aussi remplacer l − ε ≤ un ≤ l + ε par |un − l| ≤ ε.
Toute suite convergente est par conséquent bornée (par exemple la suite un = (–1)n/(n + 1), qui converge vers 0, reste comprise entre u1 = –1/2 et u0 = 1). Toute suite réelle qui tend vers ±∞ est non bornée (par exemple : un = 2n, qui tend vers +∞).
Une suite est dite constante si il existe un réel x tel que un = x pour tout n. On parle aussi de suites constantes `a partir d'un certain rang.
Une suite (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que, pour tout entier naturel n, u n ≤ M u_n \leq M un≤M. M est appelé le majorant de (un).
Petit exercice: Montrer qu'une suite constante est convergente. une suite constante est a la fois croissante et decroissante. Or toute suite croissante est minorée par son 1er terme , et toute suite decroissante et majorée par son 1er terme.
Un+1 - Un = [5n + 5 + 3] - [5n +3]. Un+1 - Un = [5n + 8] - [5n +3]. Un+1 - Un = 5n + 8 - 5n - 3 Un+1 - Un = 5. La différence Un+1 - Un est un réel ne dépendant pas de n (constant), donc la suite (Un) est arithmétique de raison r=5 et de premier terme U0= 3.
Divergente 4 annulé en raison de l'échec du troisième opus
Les aventures de Tris, personnage incarné par Shailene Woodley, ne connaîtront pas de suite.
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. (vk+1 −vk) = vn+1 −v0 Les suites (sn) et (vn+1) sont de même nature, il en est de même de (vn).
Une suite (un) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n, un+1=a×un où a est un nombre indépendant de n. Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation un+1=a×un.
(un) est bien définie si ∀n, un+1 ≥ 0, c'est `a dire si un ≥ −1. Pour tout choix de u0 ∈ [−1, +∞[, on aura alors ∀n ≥ 1,un ≥ 0 (récurrence immédiate), et donc la suite sera bien définie.
Divergence vs Convergence Un aperçu
Convergence signifie généralement se rapprocher, tandis que divergence signifie généralement s'éloigner.
Dans le genre littéraire de l'uchronie, le point de divergence, parfois appelé événement divergent, est le moment où l'histoire réelle et l'histoire uchronique divergent.
Qui diverge, s'écarte de plus en plus à partir d'un point de départ : Rayons divergents. 2. Qui est opposé, en désaccord : Des opinions divergentes.
1 n(n + 1) converge et a pour somme 1. n diverge. Si la série ∑ un converge, alors le terme général un tend vers 0 quand n tend vers + & . Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend vers 0 et qui sont divergentes (voir ∑ 1 n ci-dessous).