On appelle écart-type de l'échantillon la racine carrée de la variance. L'avantage de l'écart-type sur la variance est qu'il s'exprime, comme la moyenne, dans la même unité que les données. On utilise parfois le coefficient de variation, qui est le rapport de l'écart-type sur la moyenne.
Là, c'est facile. La variance de la moyenne empirique est la variance divisée par l'effectif de l'échantillon n (et donc l'écart-type de la moyenne empirique n'est autre que l'écart-type divisé par la racine carrée de n).
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
en probabilité, on définit de même la variance de la variable aléatoire X, que l'on note V(X), et l'écart-type σ(X) : la variance est égale à la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Dans ce calcul, on pondère la moyenne par les probabilités (comme on le fait pour le calcul de l'espérance).
Empirical frequency
La fréquence empirique d'un évènement est le nombre de réalisations observées de cet évènement divisé par le nombre d'expériences.
Cette formule s'énonce ainsi : la variance est égale à l'espérance du carré de X moins le carré de l'espérance de X.
Pour obtenir les fréquences empiriques, on divise les effectifs par le nombre total d'individus, soit ici 74. 5.
Un écart type important indique que les données sont dispersées autour de la moyenne. Cela signifie qu'il y a beaucoup de variances dans les données observées. À l'inverse, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne, plus l'écart type est faible.
L'écart-type est dans la même unité de mesure que les données. Même avec peu d'habitude, il est donc assez simple à interpréter. En revanche, la variance a davantage sa place dans les étapes intermédiaires de calcul que dans un rapport.
La variance d'une série statistique apparait dans le calcul des coefficients de la régression linéaire. L'analyse de la variance (ANOVA) rassemble des méthodes d'études de comparaisons entre échantillons sur une ou plusieurs variables quantitatives.
L'écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l'étalement, d'un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l'écart-type est faible, plus la population est homogène.
L'unité dans laquelle s'exprime la variance vaut le carré de l'unité utilisée pour les valeurs observées. Ainsi, par exemple, une série de poids exprimés en kilos possède une variance qui, elle, doit s'interpréter en "kilos-carré".
La covariance est légèrement différente. Si la variance permet d'étudier les variations d'une variable par rapport à elle-même, la covariance va permettre d'étudier les variations simultanées de deux variables par rapport à leur moyenne respective.
Définition: Un estimateur ˆθ de θ est dit sans biais si: E(ˆθ) = θ, ∀θ ∈ Θ. Ainsi, cette condition d'absence de biais assure que, à la longue, les situations où l'estimateur surestime et sous-estime θ vont s'équilibrer, de sorte que la valeur estimée sera correcte en moyenne.
La moyenne est donc plus efficace que la médiane dans ce cas — ce qui est le plus souvent le cas, la moyenne empirique étant l'estimateur linéaire non biaisé le plus efficace, par le théorème de Gauss-Markov.
On divise par n − 1 n-1 n−1 pour que l'écart-type de l'échantillon soit un bon estimateur de l'écart-type de la population.
Variance positive ou nulle
Quand elle est nulle, cela veut dire que la variable aléatoire correspond à une constante. Toutes les réalisations sont donc identiques.
Une valeur d'écart type élevée indique que les données sont dispersées. D'une manière générale, pour une loi normale, environ 68 % des valeurs se situent dans un écart type de la moyenne, 95 % des valeurs se situent dans deux écarts types et 99,7 % des valeurs se situent dans trois écarts types.
La variance, habituellement notée s2 ou σ2, est définie comme la moyenne du carré des écarts à la moyenne des valeurs de la distribution. Le calcul de la variance est nécessaire pour calculer l'écart type.
La statistique est la discipline qui étudie des phénomènes à travers la collecte de données, leur traitement, leur analyse, l'interprétation des résultats et leur présentation afin de rendre ces données compréhensibles par tous.
En mathématiques, l'écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne.
L'écart-type est une mesure la dispersion d'une série statistique autour de sa moyenne. Plus la distribution est dispersée c'est-à-dire moins les valeurs sont concentrées autour de la moyenne, plus l'écart-type sera élevé.
Dans les deux cas, il suffit de multiplier la variance ou la covariance par n/(n-1) pour avoir ce que l'on appel "variance corrigée" et "covariance corrigée". On a donc deux équations y=ax+b , avec des différences pour le moins minime .
La loi de Gumbel peut, par exemple, servir à prévoir le niveau des crues d'un fleuve, si on possède le relevé des débits sur dix ans. Elle peut aussi servir à prédire la probabilité d'un événement critique, comme un tremblement de terre.
On suppose qu'on réalise des échantillons d'effectif n au sein de cette loi normale parente. L'écart-type expérimental est s=racinecarré[Σ(xi-m)2/(n-1)] (et c'est un estimateur biaisé de σ).